2014-06-07
Прямая делит треугольник на две части равных площадей и периметров. Доказать, что центр вписанной окружности лежит на этой прямой.
Решение:
Пусть прямая пересекает стороны треугольника ABC в точках К и М, лежащих для определенности на сторонах АВ и АС соответственно (рис.). Докажем, что равенство
$\frac{S_{AKM}}{S_{ABC}} = \frac{AK+AM}{AB+AC+BC}$
имеет место тогда и только тогда, когда прямая КМ проходит через центр вписанной в треугольник ABC окружности. Утверждение задачи является частным случаем этого факта при дополнительном условии
$S_{AKM}=(1/2)S_{ABC}$
(ибо последнее условие равносильно равенству $S_{AKM} = S_{KBCM}$, а условие
$AK + AM = (1/2) (AB + AC + BC)$
- равенству
$AK + AM + KM = KB + MC + BC + KM$).
Пусть $r$ - радиус окружности, вписанной в треугольник ABC. Тогда
$2 S_{ABC} = r (AB + AC + BC)$.
С другой стороны, пусть $\rho$ - радиус окружности с центром на прямой КМ, касающейся сторон АК и AM. Тогда
$2 S_{AKM} = \rho (AK + AM)$.
Следовательно, сформулированное выше равенство равносильно равенству $r = \rho$, которое справедливо тогда и только тогда, когда центры обеих окружностей совпадают.