2014-06-07
Треугольники АBС и DEF вписаны в одну и ту же окружность. Доказать, что равенство их периметров равносильно условию
$\sin \angle A + \sin \angle B + \sin \angle C = \sin \angle D + \sin \angle E + \sin \angle F$.
Решение:
Пусть $R$ - радиус окружности, в которую вписаны треугольники ABC и DEF. Тогда по теореме синусов имеем
$\sin \angle A + \sin \angle B + \sin \angle B = \frac{BC + AC + AB}{2R} = \frac{p_{1}}{2R}$,
где $p_{1}$ - периметр треугольника ABC. Аналогично,
$\sin \angle E + \sin \angle D + \sin \angle F = \frac{p_{2}}{2R}$,
где $p_{2}$ - периметр треугольника DEF. Поэтому равенства
$\sin \angle A + \sin \angle B + \sin \angle C = \sin \angle E + \sin \angle D + \sin \angle F $
и
$p_{1} = p_{2}$
равносильны.