2014-06-07
Найти все значения $n \in \mathbf{N}$, для каждого из которых существуют число $m \in \mathbf{N}$, треугольник ABC со сторонами АB = 33, AС = 21, ВС = n и точки D,Е на сторонах АВ, АС соответственно, удовлетворяющие условиям AD = DE = EС = n.
Решение:
Пусть числа $m,n \in \mathbf{N}$ удовлетворяют условию задачи. Тогда $m =CE < AC = 21$ и из треугольника ADE (рис. 3) имеем $ 21 – m = AE < AD + DE = 2m$, т. е,
$7 < m < 21$.
Далее, поскольку AD = DE, то для угла $\alpha = \angle BAC$ находим
$\cos \alpha = AE / (2 \cdot AD) = (21 - m)/2m$.
Наконец, по теореме косинусов для треугольника ABC получаем
$n^{2} = BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} – 2AB \cdot AC \cdot \cos \alpha =$
$= 33^{2} + 21^{2} – 2 \cdot 33 \cdot 21 \cdot \frac{21-m}{2m}=2223 - \frac{27 \cdot 49 \cdot 11}{m}$,
откуда следует, что число $m$ является делителем числа $27 \cdot 49 \cdot 11$. Из двух возможных значений $m = 9$ и $m = 11$ первое не подходит (так как $n^{2} \neq 606$), а второе дает равенство $n^{2} = 900$, т. е. $n =30$. Проверка показывает, что все условия задачи при найденном значении $n$ выполняются.