2014-06-07
В остроугольном неравностороннем треугольнике через одну вершину проведена высота, через другую - медиана, а через третью - биссектриса. Доказать, что если проведенные линии, пересекаясь, образуют треугольник, то он не может быть равносторонним.
Решение:
Предположим противное, т. е. высота АН, медиана ВМ и биссектриса CL остроугольного неравностороннего треугольника ABC (рис.), пересекаясь, образуют правильный треугольник. Точки пересечения отрезков АН и BM, ВМ и CL, CL и АН обозначим соответственно Р, Q, R. Тогда в треугольнике CRH имеем $\angle CHR = 90^{\circ}, \angle CRH = 60^{\circ}$, откуда $\angle RCH = 30^{\circ}$. Далее, в треугольнике CMQ имеем $\angle QCM = \angle RCH = 30^{\circ}, \angle MQC = 60^{\circ}$ (равенство $\angle BQC= 60^{\circ}$ невозможно, так как иначе $\angle ABC > \angle QBC = 180^{\circ} - \angle BQC - \angle QCB = 90^{\circ}$, т. е. треугольник ABC тупоугольный), откуда $BM \perp AC$. Таким образом, медиана ВМ является одновременно высотой треугольника ABC, поэтому
$\angle BAC= \angle BCA = \angle ACL + \angle BCL = 60^{\circ}$,
т. е. треугольник ABC правильный, что противоречит условию задачи.