2019-01-19
В пространстве даны $n$ точек общего положения (никакие три не лежат на одной прямой, никакие четыре не лежат в одной плоскости). Через каждые три из них проведена плоскость. Докажите, что какие бы $n - 3$ точки в пространстве ни взять, найдется плоскость из проведенных, не содержащая ни одной из этих $n - 3$ точек.
Решение:
Обозначим через $M$ исходное множество из $n$ точек. Пусть $A$ - произвольное подмножество из $n - 3$ точек. Возьмем точку $x$ из множества $M$, не принадлежащую $A$. Через $x$ и остальные точки множества $M$ проведем $n - 1$ прямую и возьмем прямую, не пересекающую $A$. Через эту прямую и оставшиеся $n - 2$ точки множества $M$ проведем $n - 2$ плоскости. Одна из плоскостей не пересекает $A$, так как плоскостей $n - 2$, а множество $A$ состоит из $n - 3$ элементов. Эта плоскость и является искомой.