2019-01-19
Из 54 одинаковых единичных картонных квадратов сделали незамкнутую цепочку, соединив их шарнирно вершинами. Любой квадрат (кроме крайних) соединен с соседями двумя противоположными вершинами. Можно ли этой цепочкой квадратов полностью закрыть поверхность куба $3 \times 3 \times 3$?
Решение:
Предположим противное: закрыть удалось. Тогда, очевидно, каждая грань разобьется на 9 единичных квадратов. Проведем в каждом квадрате цепочки по диагонали из вершины с шарниром. Получится ломаная из диагоналей на поверхности куба (возможно, пересекающая себя в вершинах звеньев). Из двух вершин ломаной (начала и конца) будет выходить нечетное число звеньев-диагоналей, а из остальных вершин - четное. Если же начало и конец ломаной совпадают, то из каждой ее вершины выходит четное число звеньев. Если раскрасить вершины квадратов $1 \times 1$ в два цвета так, чтобы концы каждой стороны квадрата $1 \times 1$ были разного цвета, то все вершины ломаной совпадут с множеством вершин одного цвета (скажем, черного), поэтому множество ее звеньев - это множество всех диагоналей с черными концами. Но среди черных вершин окажутся 4 вершины куба, а из каждой такой вершины выходит 3 диагонали, т. е. нечетных узлов окажется 4. Противоречие.
Ответ. Нельзя.