2019-01-03
На боковых ребрах $SA$, $SB$ и $SC$ правильной треугольной пирамиды $SABC$ взяты соответственно точки $A_{1}$, $B_{1}$ и $C_{1}$ так, что плоскости $A_{1}B_{1}C_{1}$ и $ABC$ параллельны. Пусть O - центр сферы, проходящей через точки $S$, $A$, $B$ и $C_{1}$. Докажите, что прямая $SO$ перпендикулярна плоскости $ A_{1}B_{1}C$.
Решение:
Спроектируем точку $O$ на плоскость $SBC$. Полученная точка $O_{1}$ - центр окружности, описанной около треугольника $SBC_{1}$. Пусть $SS_{1}$ - ее диаметр. Докажем, что прямые $SO_{1}$ и $B_{1}C$ перпендикулярны.
Действительно рис., $\angle SB_{1}C+\angle B_{1}SS_{1} = \angle SC_{1}B + \angle BSS_{1} = \frac{1}{2}\breve{SB}+\frac{1}{2}\breve{BS_{1}}=\frac{1}{2}\cdot 180^{\circ} = 90^{\circ}$. Аналогично, прямая $A_{1}C$ перпендикулярна проекции прямой $SO$ на плоскость $SAC$ (рис.). По теореме о трех перпендикулярах $SO \perp A_{1}C$ и $SO \perp B_{1}C$, следовательно, $SO \perp A_{1}B_{1}C$, что и требовалось доказать.