Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13315
2023-08-14 
Докажите, что если на сфере $n$ различных больших кругов пересекаются более чем в двух точках, то они пересекаются по крайней мере в $2n$ точках ($n \geq 2$; учитываются всевозможные точки, общие по крайней мере двум из кругов).
Решение:
Если в каждой точке пересекается не более двух больших кругов, то число точек пересечения $n$ таких окружностей максимально. Каждая пара больших кругов дает 2 точки пересечения, так что максимальное число этих точек равно $2 \left ( \frac{n(n - 1)}{2} \right ) = n(n - 1)$.
Если мы возьмем какой-то большой круг и будем поворачивать его до тех пор, пока он не пройдет через уже имеющиеся точки пересечения, то общее число таких т0чек уменьшится. Повторяя этот процесс, мы придем наконец к случаю, когда все окружности будут проходить через 2 противоположные точки на сфере.
Если $n - 1$ окружность проходит через 2 точки, то оставшаяся окружность дает еще $2 (n - 1)$ точек, так что общее число точек пересечения равно $2 (n - 1) + 2 = 2n$. На следующем шаге эта последняя окружность будет проходить через те же 2 точки, что и остальные, и число точек пересечения станет равным 2.
Докажите, что если на сфере $n$ различных больших кругов пересекаются более чем в двух точках, то они пересекаются по крайней мере в $2n$ точках ($n \geq 2$; учитываются всевозможные точки, общие по крайней мере двум из кругов).
Решение:
Если в каждой точке пересекается не более двух больших кругов, то число точек пересечения $n$ таких окружностей максимально. Каждая пара больших кругов дает 2 точки пересечения, так что максимальное число этих точек равно $2 \left ( \frac{n(n - 1)}{2} \right ) = n(n - 1)$.
Если мы возьмем какой-то большой круг и будем поворачивать его до тех пор, пока он не пройдет через уже имеющиеся точки пересечения, то общее число таких т0чек уменьшится. Повторяя этот процесс, мы придем наконец к случаю, когда все окружности будут проходить через 2 противоположные точки на сфере.
Если $n - 1$ окружность проходит через 2 точки, то оставшаяся окружность дает еще $2 (n - 1)$ точек, так что общее число точек пересечения равно $2 (n - 1) + 2 = 2n$. На следующем шаге эта последняя окружность будет проходить через те же 2 точки, что и остальные, и число точек пересечения станет равным 2.
