Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13290
2023-08-14 
Покажите, что пространство можно заполнить ячейками, имеющими форму ромбических додекаэдров.
Решение:
Кубическими ячейками, очевидно, можно заполнить пространство. Рассмотрим часть кубической решетки, изображенную на рисунке. Средний куб мы оставим нетронутым, а в каждом из «окаймляющих» кубов проведем плоскости через все шесть пар противоположных ребер. При этом «окаймляющие» кубы разобьются на шесть конгруэнтных пирамид с квадратными основаниями и боковыми ребрами, равными половине диагонали куба. Пирамиды, примыкающие к нетронутому кубу, и образуют вместе с последним ромбический додекаэдр, причем ребра куба служат диагоналями граней этого додекаэдра. Отсюда ясно, что ромбическими додекаэдрами можно заполнить все пространство.
Как следствие мы получаем, что объем ромбического додекаэдра равен удвоенному объему куба, ребро которого совпадает с меньшей диагональю грани данного додекаэдра.
Покажите, что пространство можно заполнить ячейками, имеющими форму ромбических додекаэдров.
Решение:
Кубическими ячейками, очевидно, можно заполнить пространство. Рассмотрим часть кубической решетки, изображенную на рисунке. Средний куб мы оставим нетронутым, а в каждом из «окаймляющих» кубов проведем плоскости через все шесть пар противоположных ребер. При этом «окаймляющие» кубы разобьются на шесть конгруэнтных пирамид с квадратными основаниями и боковыми ребрами, равными половине диагонали куба. Пирамиды, примыкающие к нетронутому кубу, и образуют вместе с последним ромбический додекаэдр, причем ребра куба служат диагоналями граней этого додекаэдра. Отсюда ясно, что ромбическими додекаэдрами можно заполнить все пространство.
Как следствие мы получаем, что объем ромбического додекаэдра равен удвоенному объему куба, ребро которого совпадает с меньшей диагональю грани данного додекаэдра.
