Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13288
2023-08-14 
Ось цилиндрического отверстия, проделанного в шаре, имеет в длину 10 с м и лежит на диаметре этого шара. Чему равен объем оставшейся части шара?
Решение:
Представим себе шар радиуса $k$, ограниченный тонкой растяжимой мембраной, которая удерживает согласно законам поверхностного натяжения жидкость, находящуюся внутри данного шара. Проткнем теперь наш шар вдоль диаметра и вставим внутрь цилиндрическую трубку длиной $2k$, способную растягиваться в радиальном направлении таким образом, чтобы не потерять при этом ни капли жидкости. После того, как диаметр трубки (но не ее длина) увеличится, поверхностное натяжение придаст внешней части мембраны форму участка сферы большего радиуса $R$; причем объем получившегося «обручального кольца» останется неизменным. Длина внутренней окружности и такого «кольца», $2 \pi \sqrt{R^{2} - k^{2}}$, увеличится по сравнению с тем, что было до растяжения, а толщина кольца $R - \sqrt{R^{2} - k^{2}}$ наоборот, уменьшится. Итак, объем той части шара радиуса $R$, которая осталась после того. как в шаре проделали цилиндрическое отверстие длиной $2k$, равен объему шара радиуса $k$, то есть $\frac{4 \pi k^{3}}{3}$. Следовательно, объем оставшейся части не зависит от радиуса исходного шара. В нашем случае $V = 4 \pi \frac{5^{3}}{3} \approx 523,6 см^{3}$.
Ось цилиндрического отверстия, проделанного в шаре, имеет в длину 10 с м и лежит на диаметре этого шара. Чему равен объем оставшейся части шара?
Решение:
Представим себе шар радиуса $k$, ограниченный тонкой растяжимой мембраной, которая удерживает согласно законам поверхностного натяжения жидкость, находящуюся внутри данного шара. Проткнем теперь наш шар вдоль диаметра и вставим внутрь цилиндрическую трубку длиной $2k$, способную растягиваться в радиальном направлении таким образом, чтобы не потерять при этом ни капли жидкости. После того, как диаметр трубки (но не ее длина) увеличится, поверхностное натяжение придаст внешней части мембраны форму участка сферы большего радиуса $R$; причем объем получившегося «обручального кольца» останется неизменным. Длина внутренней окружности и такого «кольца», $2 \pi \sqrt{R^{2} - k^{2}}$, увеличится по сравнению с тем, что было до растяжения, а толщина кольца $R - \sqrt{R^{2} - k^{2}}$ наоборот, уменьшится. Итак, объем той части шара радиуса $R$, которая осталась после того. как в шаре проделали цилиндрическое отверстие длиной $2k$, равен объему шара радиуса $k$, то есть $\frac{4 \pi k^{3}}{3}$. Следовательно, объем оставшейся части не зависит от радиуса исходного шара. В нашем случае $V = 4 \pi \frac{5^{3}}{3} \approx 523,6 см^{3}$.
