Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13284
2023-08-14 
Правильный октаэдр с ребром $e$ пересекается плоскостью, параллельной одной из его граней. Найдите периметр и площадь полученного сечения.
Решение:
Если мы разрежем правильный октаэдр $ABCDEF$ вдоль некоторых ребер, то затем его можно будет «развернуть» на плоскость; при этом получится параллелограмм $ADD^{ \prime}A^{ \prime}$, состоящий из шести равносторонних треугольников. (Треугольников получится 6, а не 8 потому, что при такой «развертке» ребра $AC, CB$ и $AB$ располагаются вдоль одной прямой; то же относится и к ребрам $DE, EF$ и $FD$. В результате «исчезают» две грани: $ACB$ и $DEF$.) Отсюда видно, что периметр сечения, параллельного, например, грани $ABC$, равен длине отрезка $AA^{ \prime}$ на нашей «развертке», то есть $3e$.
Если $AJ =x$ (см. рисунок), то сечение представляет собой шестиугольник, который можно получить, отрезав от углов равностороннего треугольника со стороной $e+x$ три меньших равносторонних треугольника со стороной $x$. Следовательно, стороны такого шестиугольника, длина которых $x$ и $e - x$, чередуются между собой, а его площадь равна $[(e + x)^{2} - 3x^{2}] \frac{ \sqrt{3}}{4}$ и принимает минимальное значение при $x = 0$ и максимальное - при $x = \frac{e}{2}$. Максимальный шестиугольник получится, когда сечение пройдет через середины ребер октаэдра. Этот шестиугольник будет правильным, а его площадь составит $\frac{3}{2}$ площади грани октаэдра.
Правильный октаэдр с ребром $e$ пересекается плоскостью, параллельной одной из его граней. Найдите периметр и площадь полученного сечения.
Решение:
Если мы разрежем правильный октаэдр $ABCDEF$ вдоль некоторых ребер, то затем его можно будет «развернуть» на плоскость; при этом получится параллелограмм $ADD^{ \prime}A^{ \prime}$, состоящий из шести равносторонних треугольников. (Треугольников получится 6, а не 8 потому, что при такой «развертке» ребра $AC, CB$ и $AB$ располагаются вдоль одной прямой; то же относится и к ребрам $DE, EF$ и $FD$. В результате «исчезают» две грани: $ACB$ и $DEF$.) Отсюда видно, что периметр сечения, параллельного, например, грани $ABC$, равен длине отрезка $AA^{ \prime}$ на нашей «развертке», то есть $3e$.
Если $AJ =x$ (см. рисунок), то сечение представляет собой шестиугольник, который можно получить, отрезав от углов равностороннего треугольника со стороной $e+x$ три меньших равносторонних треугольника со стороной $x$. Следовательно, стороны такого шестиугольника, длина которых $x$ и $e - x$, чередуются между собой, а его площадь равна $[(e + x)^{2} - 3x^{2}] \frac{ \sqrt{3}}{4}$ и принимает минимальное значение при $x = 0$ и максимальное - при $x = \frac{e}{2}$. Максимальный шестиугольник получится, когда сечение пройдет через середины ребер октаэдра. Этот шестиугольник будет правильным, а его площадь составит $\frac{3}{2}$ площади грани октаэдра.
