Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13275
2023-08-14 
Может ли у какого-нибудь тетраэдра радиус его шестнадцатиточечной сферы составлять половину радиуса сферы, описанной вокруг этого тетраэдра? (Шестнадцатиточечной называется сфера, проходящая через центры окружностей, описанных около граней данного тетраэдра.)
Решение:
Пусть $R$ - радиус описанной сферы, а $r$ - радиус шестнадцатиточечной сферы. Если данный тетраэдр правильный, то $r = \frac{R}{3}$; если же у него три плоских угла при некоторой вершине прямые, то $r = \infty$ (поскольку в этом случае все центры описанных окружностей лежат в одной плоскости), а $R$ - конечен. Так как правильный тетраэдр можно с помощью непрерывной деформации превратить в тетраэдр с тремя прямыми углами при вершине, существует промежуточное положение, при котором $r = \frac{R}{2}$. Более того, существуют промежуточные положения, при которых величина $\frac{r}{R}$ принимает любые заданные значения, большие $\frac{1}{3}$.
Может ли у какого-нибудь тетраэдра радиус его шестнадцатиточечной сферы составлять половину радиуса сферы, описанной вокруг этого тетраэдра? (Шестнадцатиточечной называется сфера, проходящая через центры окружностей, описанных около граней данного тетраэдра.)
Решение:
Пусть $R$ - радиус описанной сферы, а $r$ - радиус шестнадцатиточечной сферы. Если данный тетраэдр правильный, то $r = \frac{R}{3}$; если же у него три плоских угла при некоторой вершине прямые, то $r = \infty$ (поскольку в этом случае все центры описанных окружностей лежат в одной плоскости), а $R$ - конечен. Так как правильный тетраэдр можно с помощью непрерывной деформации превратить в тетраэдр с тремя прямыми углами при вершине, существует промежуточное положение, при котором $r = \frac{R}{2}$. Более того, существуют промежуточные положения, при которых величина $\frac{r}{R}$ принимает любые заданные значения, большие $\frac{1}{3}$.
