Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13273
2023-08-14 
Возьмем гибкий тонкостенный цилиндр диаметра $d$, например соломинку для коктейля. Чему равно ребро е максимального правильного тетраэдра, который можно протолкнуть сквозь эту соломинку?
Решение:
Если мы составим параллелограмм из четырех приложенных друг к другу равносторонних треугольников со стороной $e$, то в этом параллелограмме длина любого отрезка, проведенного параллельно большей его стороне, будет равна $2e$. Отсюда следует, что если мы сложим из этого параллелограмма правильный тетраэдр и проведем затем любую плоскость, перпендикулярную отрезку, соединяющему середины противоположных ребер тетраэдра (бимедиане), то периметр полученного сечения будет равен $2e$.
Следовательно, если мы совместим бимедиану с осью цилиндра, то тетраэдр можно будет протолкнуть сквозь гибкий тонкостенный цилиндр, периметр сечения которого равен $\pi d = 2e$. Таким образом, ребро искомого тетраэдра равно $e = \frac{ \pi d}{2}$. На практике края одного из концов цилиндра полезно слегка отогнуть наружу, чтобы тетраэдр легче было втиснуть внутрь цилиндра.
Если тетраэдр расположить по-другому относительно оси цилиндра, то некоторая плоскость, перпендикулярная этой оси, пройдет через вершину тетраэдра и пересечет два ребра, не выходящих из данной вершины. Как легко заметить на нашей развертке, периметр такого сечения $AEFA^{ \prime}$ окажется больше $2e$, и мы не сможем в таком положении протолкнуть наш тетраэдр сквозь данный цилиндр. Отсюда следует, что ребро максимального тетраэдра, который можно протолкнуть сквозь цилиндр диаметра $d$, равно $\frac{ \pi d}{2}$.
Возьмем гибкий тонкостенный цилиндр диаметра $d$, например соломинку для коктейля. Чему равно ребро е максимального правильного тетраэдра, который можно протолкнуть сквозь эту соломинку?
Решение:
Если мы составим параллелограмм из четырех приложенных друг к другу равносторонних треугольников со стороной $e$, то в этом параллелограмме длина любого отрезка, проведенного параллельно большей его стороне, будет равна $2e$. Отсюда следует, что если мы сложим из этого параллелограмма правильный тетраэдр и проведем затем любую плоскость, перпендикулярную отрезку, соединяющему середины противоположных ребер тетраэдра (бимедиане), то периметр полученного сечения будет равен $2e$.
Следовательно, если мы совместим бимедиану с осью цилиндра, то тетраэдр можно будет протолкнуть сквозь гибкий тонкостенный цилиндр, периметр сечения которого равен $\pi d = 2e$. Таким образом, ребро искомого тетраэдра равно $e = \frac{ \pi d}{2}$. На практике края одного из концов цилиндра полезно слегка отогнуть наружу, чтобы тетраэдр легче было втиснуть внутрь цилиндра.
Если тетраэдр расположить по-другому относительно оси цилиндра, то некоторая плоскость, перпендикулярная этой оси, пройдет через вершину тетраэдра и пересечет два ребра, не выходящих из данной вершины. Как легко заметить на нашей развертке, периметр такого сечения $AEFA^{ \prime}$ окажется больше $2e$, и мы не сможем в таком положении протолкнуть наш тетраэдр сквозь данный цилиндр. Отсюда следует, что ребро максимального тетраэдра, который можно протолкнуть сквозь цилиндр диаметра $d$, равно $\frac{ \pi d}{2}$.
