Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13256
2023-08-14 
Покажите, что у любого (не обязательно правильного) тетраэдра есть по крайней мере одна вершина, все плоские углы при которой острые.
Решение:
Если плоский угол при одной из вершин тетраэдра прямой или тупой, то сумма всех плоских углов при этой вершине больше $\pi$ радиан. Если бы по крайней мере один из углов при каждой вершине тетраэдра был прямым или тупым, то сумма всех плоских углов тетраэдра превышала бы $4 \pi$. Но это невозможно, поскольку у четырех треугольных граней сумма всех углов в точности равна $4 \pi$. Следовательно, у тетраэдра есть по крайней мере одна вершина, все плоские углы при которой острые.
Покажите, что у любого (не обязательно правильного) тетраэдра есть по крайней мере одна вершина, все плоские углы при которой острые.
Решение:
Если плоский угол при одной из вершин тетраэдра прямой или тупой, то сумма всех плоских углов при этой вершине больше $\pi$ радиан. Если бы по крайней мере один из углов при каждой вершине тетраэдра был прямым или тупым, то сумма всех плоских углов тетраэдра превышала бы $4 \pi$. Но это невозможно, поскольку у четырех треугольных граней сумма всех углов в точности равна $4 \pi$. Следовательно, у тетраэдра есть по крайней мере одна вершина, все плоские углы при которой острые.
