Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13250
2023-07-28 
Найдите такое наибольшее значение $y$, чтобы в разложении некоторого бинома $y$ последовательных коэффициентов относились между собой как $1:2:3: \cdots : y$. Определите это разложение и выпишите соответствующие коэффициенты.
Решение:
Для того чтобы условие задачи было выполнено при $y = 3$, при некоторых $n$ и $k$ должны иметь место равенства $2C_{n}^{k} = C_{n}^{k+1}$ и $3C_{n}^{k} = C_{n}^{k+2}$. После упрощения получаем $n = 3k + 2$ и $3(k + 1)(k + 2) = (n - k)(n - k - 1)$. Решив данную систему уравнений и отбросив отрицательное решение, получим $k = 4, n = 14$.
Таким образом, степень соответствующего бинома равна 14, а пятый, шестой и седьмой коэффициенты равны соответственно 1001, 2002, 3003. Поскольку для $y = 3$ решение единственно, при $y > 3$ решений нет.
Найдите такое наибольшее значение $y$, чтобы в разложении некоторого бинома $y$ последовательных коэффициентов относились между собой как $1:2:3: \cdots : y$. Определите это разложение и выпишите соответствующие коэффициенты.
Решение:
Для того чтобы условие задачи было выполнено при $y = 3$, при некоторых $n$ и $k$ должны иметь место равенства $2C_{n}^{k} = C_{n}^{k+1}$ и $3C_{n}^{k} = C_{n}^{k+2}$. После упрощения получаем $n = 3k + 2$ и $3(k + 1)(k + 2) = (n - k)(n - k - 1)$. Решив данную систему уравнений и отбросив отрицательное решение, получим $k = 4, n = 14$.
Таким образом, степень соответствующего бинома равна 14, а пятый, шестой и седьмой коэффициенты равны соответственно 1001, 2002, 3003. Поскольку для $y = 3$ решение единственно, при $y > 3$ решений нет.
