Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13248
2023-07-28 
Решите следующее уравнение, не раскрывая скобки:
$(12x - 1)(6x - 1)(4x - 1)(3x - 1) = 5$.
Решение:
Подставив $x = \frac{y}{12}$ в исходное уравнение, получим
$(y - 1) (y -2) (y - 3) (y - 4) = 120 = 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5$.
Любой целый корень этого уравнения превратит его левую часть в произведение четырех последовательных целых чисел. $y = -1$ и $y = 6$ - два таких корня.
Воспользуемся теперь известными соотношениями между корнями уравнения и его коэффициентами:
$(- 1) (6) r_{1}r_{2} = - 120 + (-1)(-2) (-3) (-4)$,
откуда
$r_{1}r_{2}= 16$;
$- (- 1 + 6 + r_{1} + r_{2}) = - 1 - 2 - 3 - 4$,
откуда
$r_{1} + r_{2} = 5$.
Таким образом, $r_{1}$ и $r_{2}$ совпадают с корнями уравнения $y^{2} - 5y + 16 = 0$, то есть равны $\frac{5 \pm i \sqrt{39}}{2}$.
Итак, четыре корня исходного уравнения равны соответственно $- \frac{1}{12}, \frac{1}{2}$ и $\frac{5 \pm \sqrt{39}}{24}$.
Решите следующее уравнение, не раскрывая скобки:
$(12x - 1)(6x - 1)(4x - 1)(3x - 1) = 5$.
Решение:
Подставив $x = \frac{y}{12}$ в исходное уравнение, получим
$(y - 1) (y -2) (y - 3) (y - 4) = 120 = 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5$.
Любой целый корень этого уравнения превратит его левую часть в произведение четырех последовательных целых чисел. $y = -1$ и $y = 6$ - два таких корня.
Воспользуемся теперь известными соотношениями между корнями уравнения и его коэффициентами:
$(- 1) (6) r_{1}r_{2} = - 120 + (-1)(-2) (-3) (-4)$,
откуда
$r_{1}r_{2}= 16$;
$- (- 1 + 6 + r_{1} + r_{2}) = - 1 - 2 - 3 - 4$,
откуда
$r_{1} + r_{2} = 5$.
Таким образом, $r_{1}$ и $r_{2}$ совпадают с корнями уравнения $y^{2} - 5y + 16 = 0$, то есть равны $\frac{5 \pm i \sqrt{39}}{2}$.
Итак, четыре корня исходного уравнения равны соответственно $- \frac{1}{12}, \frac{1}{2}$ и $\frac{5 \pm \sqrt{39}}{24}$.
