Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13242
2023-07-28 
У правильных тетраэдра и октаэдра длины ребер равны. Найдите отношение их объемов, не вычисляя объема каждого из данных многогранников.
Решение:
Если мы проведем плоскость через середины трех ребер тетраэдра, выходящих из одной вершины, то она отсечет маленький тетраэдр, объем которого составляет $\left ( \frac{1}{2} \right )^{3}$ объема большого тетраэдра (поскольку их ребра относятся как 1 :2). Объем четырех таких маленьких тетраэдров равен половине объема большого тетраэдра.
Если мы проведем еще три аналогичные плоскости, то в результате получим многогранник, 8 граней которого представляют собой равносторонние треугольники, причем четыре таких треугольника лежат на гранях большого тетраэдра, а четыре остальных лежат в секущих плоскостях. Таким образом, мы получили правильный октаэдр, ребро которого равно ребру маленького тетраэдра, или, что то же самое, половине ребра большого тетраэдра.
Отсюда следует, что объем маленького тетраэдра равен $\frac{1}{4}$ объема получившегося октаэдра. Кроме того, из приведенной конструкции становится очевидным, что
двугранные углы правильного тетраэдра и правильного октаэдра дополняют друг друга до $180^{ \circ}$.
У правильных тетраэдра и октаэдра длины ребер равны. Найдите отношение их объемов, не вычисляя объема каждого из данных многогранников.
Решение:
Если мы проведем плоскость через середины трех ребер тетраэдра, выходящих из одной вершины, то она отсечет маленький тетраэдр, объем которого составляет $\left ( \frac{1}{2} \right )^{3}$ объема большого тетраэдра (поскольку их ребра относятся как 1 :2). Объем четырех таких маленьких тетраэдров равен половине объема большого тетраэдра.
Если мы проведем еще три аналогичные плоскости, то в результате получим многогранник, 8 граней которого представляют собой равносторонние треугольники, причем четыре таких треугольника лежат на гранях большого тетраэдра, а четыре остальных лежат в секущих плоскостях. Таким образом, мы получили правильный октаэдр, ребро которого равно ребру маленького тетраэдра, или, что то же самое, половине ребра большого тетраэдра.
Отсюда следует, что объем маленького тетраэдра равен $\frac{1}{4}$ объема получившегося октаэдра. Кроме того, из приведенной конструкции становится очевидным, что
двугранные углы правильного тетраэдра и правильного октаэдра дополняют друг друга до $180^{ \circ}$.
