ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2023-07-28   
Покажите, что каждый член бесконечной последовательности 1, 1 1, 111, 1111, ... представляет собой треугольное число1, записанное в девятеричной системе счисления (то есть в системе с основанием 9).


Решение:


Треугольные числа имеют вид $\frac{n(n+1)}{2}$, так что 1 является треугольным числом в любой системе счисления. далее будем рассуждать по индукции. Легко заметить, что каждый член исходной последовательности можно получить, умножив предыдущий член на основание данной системы счисления и прибавив затем 1. Если мы будем действовать в девятеричной системе счисления и некоторый член нашей последовательности равен треугольному числу $\frac{n(n+1)}{2}$, то следующий член будет

$9 \frac{n(n + 1)}{2} + 1 = \frac{(3n + 1)(3n + 2)}{2}$,

то есть также есть треугольное число.

Вообще если мы к числу $\frac{n(n+1)}{2}$, записанному в системе с основанием $(2k + 1)^{2}$, припишем справа число $\frac{k(k + 1)}{2}$, записанное в тои же системе, то получим

$\frac{[(2k + 1)n + k] [(2k + 1)n + k + 1]}{2}$