Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13224
2023-07-20 
Докажите, что объем тетраэдра равен одной трети произведения площади его полной поверхности на радиус вписанного шара.
Решение:
Рассмотрим произвольный тетраэдр $ABCD$ и шар с центром $O$, вписанный в него. Объем данного тетраэдра складывается из объемом четырех тетраэдров, основаниями которых являются грани исходного тетраэдра, а вершиной - точка $O$.
Расстояния от точки $O$ до граней исходного тетраэдра равны радиусу шара, следовательно,
$V_{ABCD} = V_{ABCO} + V_{ABDO} + V_{BCDO} + V_{ACDO} \Rightarrow V = \frac{1}{3} (S_{ABC} + S_{ABD} + S_{BCD} + S_{ACD}) r = \frac{1}{3}Sr$,
где $r$ - радиус шара, $S$ - площадь полной поверхности исходного тетраэдра.
Докажите, что объем тетраэдра равен одной трети произведения площади его полной поверхности на радиус вписанного шара.
Решение:
Рассмотрим произвольный тетраэдр $ABCD$ и шар с центром $O$, вписанный в него. Объем данного тетраэдра складывается из объемом четырех тетраэдров, основаниями которых являются грани исходного тетраэдра, а вершиной - точка $O$.
Расстояния от точки $O$ до граней исходного тетраэдра равны радиусу шара, следовательно,
$V_{ABCD} = V_{ABCO} + V_{ABDO} + V_{BCDO} + V_{ACDO} \Rightarrow V = \frac{1}{3} (S_{ABC} + S_{ABD} + S_{BCD} + S_{ACD}) r = \frac{1}{3}Sr$,
где $r$ - радиус шара, $S$ - площадь полной поверхности исходного тетраэдра.
