Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13219
2023-07-20 
Площади двух боковых граней наклонной треугольной призмы равны 8 и 6, угол между ними равен $90^{ \circ}$, боковое ребро равно 2. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
Решение:
Пусть площади граней $AA^{ \prime}C^{ \prime}C$ и $BB^{ \prime}C^{ \prime}C$ равны 8 и 6 соответственно, тогда для вычисления площади боковой поверхности призмы нам необходимо найти площадь параллелограмма $AA^{ \prime} B^{ \prime}B$.
Рассмотрим сечение треугольной призмы $ABCA^{ \prime}B^{ \prime}C^{ \prime}$ плоскостью, перпендикулярной ребрам призмы. Пусть $L, M$ и $K$ - точки пересечения ребер $AA^{ \prime}, BB^{ \prime}$ и $CC^{ \prime}$ с этой плоскостью. Так как по построению ребра призмы перпендикулярны плоскости $LMK$, то они перпендикулярны и любым прямым, лежащим в этой плоскости, в частности прямым $LM , MK$ и $KL$.
Следовательно, $LM, MK$ и $KL$ - высоты соответствующих параллелограммов, являющихся боковыми гранями призмы. Зная площади граней $AAC^{ \prime}C, BB^{ \prime}C^{ \prime}C$ и длину бокового ребра $AA^{ \prime} = 2$, вычислим длины высот $KL$ и $MK$:
$S_{AA^{ \prime}C^{ \prime}C} = 8 \Rightarrow 2KL = 8 \Rightarrow KL = 4$;
$S_{BB^{ \prime}C^{ \prime}C} = 6 \Rightarrow 2MK = 6 \Rightarrow MK = 3$.
По условию задачи угол между гранями $AA^{ \prime}C^{ \prime}C$ и $BB^{ \prime}C^{ \prime}C$ прямой, значит, $\angle LKM = 90^{ \circ}$. По теореме Пифагора
$LM = \sqrt{KL^{2} + MK^{2}} = 5$,
следовательно, $S_{AA^{ \prime}B^{ \prime}B} =5 \cdot 2=10$ и площадь боковой поверхности призмы равна 8 + 6 + 10 = 24.
Ответ. 24.
Площади двух боковых граней наклонной треугольной призмы равны 8 и 6, угол между ними равен $90^{ \circ}$, боковое ребро равно 2. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
Решение:
Пусть площади граней $AA^{ \prime}C^{ \prime}C$ и $BB^{ \prime}C^{ \prime}C$ равны 8 и 6 соответственно, тогда для вычисления площади боковой поверхности призмы нам необходимо найти площадь параллелограмма $AA^{ \prime} B^{ \prime}B$.
Рассмотрим сечение треугольной призмы $ABCA^{ \prime}B^{ \prime}C^{ \prime}$ плоскостью, перпендикулярной ребрам призмы. Пусть $L, M$ и $K$ - точки пересечения ребер $AA^{ \prime}, BB^{ \prime}$ и $CC^{ \prime}$ с этой плоскостью. Так как по построению ребра призмы перпендикулярны плоскости $LMK$, то они перпендикулярны и любым прямым, лежащим в этой плоскости, в частности прямым $LM , MK$ и $KL$.
Следовательно, $LM, MK$ и $KL$ - высоты соответствующих параллелограммов, являющихся боковыми гранями призмы. Зная площади граней $AAC^{ \prime}C, BB^{ \prime}C^{ \prime}C$ и длину бокового ребра $AA^{ \prime} = 2$, вычислим длины высот $KL$ и $MK$:
$S_{AA^{ \prime}C^{ \prime}C} = 8 \Rightarrow 2KL = 8 \Rightarrow KL = 4$;
$S_{BB^{ \prime}C^{ \prime}C} = 6 \Rightarrow 2MK = 6 \Rightarrow MK = 3$.
По условию задачи угол между гранями $AA^{ \prime}C^{ \prime}C$ и $BB^{ \prime}C^{ \prime}C$ прямой, значит, $\angle LKM = 90^{ \circ}$. По теореме Пифагора
$LM = \sqrt{KL^{2} + MK^{2}} = 5$,
следовательно, $S_{AA^{ \prime}B^{ \prime}B} =5 \cdot 2=10$ и площадь боковой поверхности призмы равна 8 + 6 + 10 = 24.
Ответ. 24.
