Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13218
2023-07-20 
Высота прямой призмы $ABCA^{ \prime}B^{ \prime}C^{ \prime}$ равна 18. Основание призмы - треугольник $ABC$, площадь которого равна 12, $AB =5$. Найдите тангенс угла между плоскостью $ABC^{ \prime}$ и плоскостью основания призмы.
Решение:
Двугранный угол измеряется углом между перпендикулярами к ребру, восстановленными в обеих плоскостях из одной точки. В качестве основания перпендикуляра, восстановленного к ребру $AB$ в плоскости $ABC^{ \prime}$, удобно взять основание высоты $C^{ \prime}H$ треугольника $ABC^{ \prime}$.
Заметим, что прямая $CH$ является проекцией наклонной $C^{ \prime}H$ на плоскость $ABC$, поскольку ребро $CC^{ \prime}$ перпендикулярно плоскости $ABC$.
Так как по построению наклонная $C^{ \prime}H$ перпендикулярна отрезку $AB$, то и ее проекция $CH$ тоже перпендикулярна этому отрезку (по теореме о трех перпендикулярах).
Следовательно, искомым углом является угол $C^{ \prime}HC$. Тангенс этого угла найдем из прямоугольного треугольника $C^{ \prime}HC$.
Катет $CC^{ \prime} = 18$ по условию задачи. Второй катет $CH$ является высотой треугольника $ABC$. С помощью формулы для площади треугольника получим
$S_{ \Delta ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH \Leftrightarrow 12= \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot CH \Leftrightarrow CH = 4, 8$.
Следовательно, $tg \angle C^{ \prime} HC = \frac{CC^{ \prime}}{CH} = \frac{18}{4,8} = 3,75$.
Ответ. 3, 75 .
Высота прямой призмы $ABCA^{ \prime}B^{ \prime}C^{ \prime}$ равна 18. Основание призмы - треугольник $ABC$, площадь которого равна 12, $AB =5$. Найдите тангенс угла между плоскостью $ABC^{ \prime}$ и плоскостью основания призмы.
Решение:
Двугранный угол измеряется углом между перпендикулярами к ребру, восстановленными в обеих плоскостях из одной точки. В качестве основания перпендикуляра, восстановленного к ребру $AB$ в плоскости $ABC^{ \prime}$, удобно взять основание высоты $C^{ \prime}H$ треугольника $ABC^{ \prime}$.
Заметим, что прямая $CH$ является проекцией наклонной $C^{ \prime}H$ на плоскость $ABC$, поскольку ребро $CC^{ \prime}$ перпендикулярно плоскости $ABC$.
Так как по построению наклонная $C^{ \prime}H$ перпендикулярна отрезку $AB$, то и ее проекция $CH$ тоже перпендикулярна этому отрезку (по теореме о трех перпендикулярах).
Следовательно, искомым углом является угол $C^{ \prime}HC$. Тангенс этого угла найдем из прямоугольного треугольника $C^{ \prime}HC$.
Катет $CC^{ \prime} = 18$ по условию задачи. Второй катет $CH$ является высотой треугольника $ABC$. С помощью формулы для площади треугольника получим
$S_{ \Delta ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH \Leftrightarrow 12= \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot CH \Leftrightarrow CH = 4, 8$.
Следовательно, $tg \angle C^{ \prime} HC = \frac{CC^{ \prime}}{CH} = \frac{18}{4,8} = 3,75$.
Ответ. 3, 75 .
