Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13184
2023-07-09 
Найти все целые слагаемые $n$, при которых число $2^{n} - 1$ делится на 7. Найдутся ли целые слагаемые значения $n$, при которых число $2^{n} + 1$ делится на 7?
Решение:
Если $n = 3k$, то выражение $2^{n} - 1 = 2^{3k} - 1 = 8^{k} - 1$ будет делиться на 7. При $n = 3k + 1$ имеем $2^{3k+1} - 1 = 2 \cdot 8^{k} - 1 = (8^{k} - 1) + 8^{k}$ - выражение, которое не делится на 7. Так как $2^{3k}$ можно представить, как $7m + 1$, то при $n = 3k + 2$ выражение $2^{3k+2} - 1 = 4 \cdot 2^{3k} - 1 = 4 (7m + 1) - 1 = 28m + 3$. Значит, если $n = 3k + 2$, выражение $2^{n} - 1$ при делении на 7 дает в остатке 3.
Ответ на второй вопрос задачи негативен. Если $n = 3k$, выражение $2^{n} + 1 = 2^{3K} + 1 = 7m + 2$ в результате деления на 7 дает в остатке 3. Если же $n = 3k + 2$, то
$2^{n} + 1 = 2^{3k+2} + 1 = 4(7m + 1) + 1 = 28m + 5$.
Это число вследствие деления на 7 дает в остатке 5.
Найти все целые слагаемые $n$, при которых число $2^{n} - 1$ делится на 7. Найдутся ли целые слагаемые значения $n$, при которых число $2^{n} + 1$ делится на 7?
Решение:
Если $n = 3k$, то выражение $2^{n} - 1 = 2^{3k} - 1 = 8^{k} - 1$ будет делиться на 7. При $n = 3k + 1$ имеем $2^{3k+1} - 1 = 2 \cdot 8^{k} - 1 = (8^{k} - 1) + 8^{k}$ - выражение, которое не делится на 7. Так как $2^{3k}$ можно представить, как $7m + 1$, то при $n = 3k + 2$ выражение $2^{3k+2} - 1 = 4 \cdot 2^{3k} - 1 = 4 (7m + 1) - 1 = 28m + 3$. Значит, если $n = 3k + 2$, выражение $2^{n} - 1$ при делении на 7 дает в остатке 3.
Ответ на второй вопрос задачи негативен. Если $n = 3k$, выражение $2^{n} + 1 = 2^{3K} + 1 = 7m + 2$ в результате деления на 7 дает в остатке 3. Если же $n = 3k + 2$, то
$2^{n} + 1 = 2^{3k+2} + 1 = 4(7m + 1) + 1 = 28m + 5$.
Это число вследствие деления на 7 дает в остатке 5.
