Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13181
2023-07-09 
Доказать, что если разность, полученная от вычитания числа, выраженного тремя последними цифрами данного числа, из числа, выраженного всеми остальными цифрами (или наоборот), равна 0, или делится на 7, на 11, на 13, то все данное число делится соответственно на 7, или на 11, или на 13 (Признак делимости на 7, на 11, на 13)
Решение:
Пусть дано число $A$. Обозначим число, выраженное тремя последними цифрами числа $A$ через $N$, а число, выраженное всеми остальными числами через $M$. Имеем: $A = M \cdot 1000 + n$. Число 1001 + 1 делится на 7, и на 11, и на 13. Заметив это преобразуем полученную сумму:
$A = M(1000 + 1) - M + N$,
которую можно записать.
$A = M \cdot 1000+ 1 + (M - N)$, если $M > N$ и
$A = M \cdot 1000 + 1 + (N - M)$, если $M < N$.
Так как $M \cdot 1001$ всегда делится на 7, на 11, на 13, то для того, чтобы $A$ делилось на 7, на 11, на 13 необходимо и достаточно, чтобы разность $(M - N)$ или $(N - M)$ делилось соответственно на 7, на 11, на 13.
Доказать, что если разность, полученная от вычитания числа, выраженного тремя последними цифрами данного числа, из числа, выраженного всеми остальными цифрами (или наоборот), равна 0, или делится на 7, на 11, на 13, то все данное число делится соответственно на 7, или на 11, или на 13 (Признак делимости на 7, на 11, на 13)
Решение:
Пусть дано число $A$. Обозначим число, выраженное тремя последними цифрами числа $A$ через $N$, а число, выраженное всеми остальными числами через $M$. Имеем: $A = M \cdot 1000 + n$. Число 1001 + 1 делится на 7, и на 11, и на 13. Заметив это преобразуем полученную сумму:
$A = M(1000 + 1) - M + N$,
которую можно записать.
$A = M \cdot 1000+ 1 + (M - N)$, если $M > N$ и
$A = M \cdot 1000 + 1 + (N - M)$, если $M < N$.
Так как $M \cdot 1001$ всегда делится на 7, на 11, на 13, то для того, чтобы $A$ делилось на 7, на 11, на 13 необходимо и достаточно, чтобы разность $(M - N)$ или $(N - M)$ делилось соответственно на 7, на 11, на 13.
