Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13180
2023-07-09 
Найти все простые числа $p$ такие, что $p^{2} + 8$ - простое число.
Решение:
Всякое простое число $p > 3$, имеет один из следующих видов:
1) $p = 3k + 1$;
2) $p = 3k + 2$.
Пусть $p = 3k + 1$, тогда $(3k + 1)^{2} + 8 = 9k^{2} + 6k + 9$. Это число делится на 3, и, значит не является простым. Пусть теперь $p = 3k + 2$, тогда $(3k + 2)^{2} + 8 = 9k^{2} + 12k + 12$ делится иа 3, то есть опять не простое число.
Наконец, рассмотрим два оставшихся простых числа: $p = 2$ и $p = 3$. Если $p = 2$, то $p^{2} + 8 = 12$ - число не простое. При $p = 3$ имеем $p^{2} + 8 = 17$ - число простое.
Ответ: $p = 3$.
Найти все простые числа $p$ такие, что $p^{2} + 8$ - простое число.
Решение:
Всякое простое число $p > 3$, имеет один из следующих видов:
1) $p = 3k + 1$;
2) $p = 3k + 2$.
Пусть $p = 3k + 1$, тогда $(3k + 1)^{2} + 8 = 9k^{2} + 6k + 9$. Это число делится на 3, и, значит не является простым. Пусть теперь $p = 3k + 2$, тогда $(3k + 2)^{2} + 8 = 9k^{2} + 12k + 12$ делится иа 3, то есть опять не простое число.
Наконец, рассмотрим два оставшихся простых числа: $p = 2$ и $p = 3$. Если $p = 2$, то $p^{2} + 8 = 12$ - число не простое. При $p = 3$ имеем $p^{2} + 8 = 17$ - число простое.
Ответ: $p = 3$.
