Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13178
2023-07-09 
Найти все пары натуральных чисел, больше 0 и меньших 180, таких, что их НОД равен 6, а разность положительна и является точным квадратом.
Решение:
Искомые пары чисел представим в виде $(6n, 6k)$, где $k, n \in N$. При этом $\frac{n}{k}$ - несократимая дробь. Кроме того, $6n < 180$, т.е. $n < 30, k < 30$. Следовательно, $6n - 6k = m^{2}$
$n - k = \frac{m^{2}}{6}$, т.е. $\frac{m^{2}}{6}$ - целое.
Имеем два случая:
а) $n - k = \frac{6^{2}}{6} = 6$, откуда $n = k + 6$ и для взаимно простых чисел $n$ и $k$, меньших 30 получаем набор (7;1); (11;5); (13;7); (17;11); (19;13); (23;17); (25;19); (29;23). Таким образом, искомые пары (6;6); (42;6); (66;30); (78;42); (102;66); (114;78); (138;102); (150;114); (174;138); (150;6); (174;3)
Найти все пары натуральных чисел, больше 0 и меньших 180, таких, что их НОД равен 6, а разность положительна и является точным квадратом.
Решение:
Искомые пары чисел представим в виде $(6n, 6k)$, где $k, n \in N$. При этом $\frac{n}{k}$ - несократимая дробь. Кроме того, $6n < 180$, т.е. $n < 30, k < 30$. Следовательно, $6n - 6k = m^{2}$
$n - k = \frac{m^{2}}{6}$, т.е. $\frac{m^{2}}{6}$ - целое.
Имеем два случая:
а) $n - k = \frac{6^{2}}{6} = 6$, откуда $n = k + 6$ и для взаимно простых чисел $n$ и $k$, меньших 30 получаем набор (7;1); (11;5); (13;7); (17;11); (19;13); (23;17); (25;19); (29;23). Таким образом, искомые пары (6;6); (42;6); (66;30); (78;42); (102;66); (114;78); (138;102); (150;114); (174;138); (150;6); (174;3)
