Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13176
2023-07-09 
Решить систему уравнений, где $x \in N, y \in N, [x, y]$ - наименьшее общее кратное чисел $x$ и $y$.
$\begin{cases} [x ,y] = 350, \\ x + y = 95. \end{cases}$
Решение:
$[x, y] = (x, y) uv$, где $(u, v) = 1, x = (x, y) u, y = (x, y) v$.
Из условия делаем вывод, что
$\begin{cases} (x,y) uv = 350, \\ (x,y) (u,v) = 95. \end{cases}$
Легко доказать, что когда $(u, v) = 1$, то $(uv, u + v) = 1$. Тогда $(350, 95) = (x, y)$, значит $(x, y) = 5$. Отсюда
$\begin{cases} uv = 70, \\ u + v = 19. \end{cases}$
Решения этой системы: $u = 5, v = 14$ и $u = 14, c = 5$.
Поскольку $x = 5u, y = 5v$, то $y = 70$ или $x = 70, y = 25$.
Ответ: $\{(25; 70), (70; 25)\}$.
Решить систему уравнений, где $x \in N, y \in N, [x, y]$ - наименьшее общее кратное чисел $x$ и $y$.
$\begin{cases} [x ,y] = 350, \\ x + y = 95. \end{cases}$
Решение:
$[x, y] = (x, y) uv$, где $(u, v) = 1, x = (x, y) u, y = (x, y) v$.
Из условия делаем вывод, что
$\begin{cases} (x,y) uv = 350, \\ (x,y) (u,v) = 95. \end{cases}$
Легко доказать, что когда $(u, v) = 1$, то $(uv, u + v) = 1$. Тогда $(350, 95) = (x, y)$, значит $(x, y) = 5$. Отсюда
$\begin{cases} uv = 70, \\ u + v = 19. \end{cases}$
Решения этой системы: $u = 5, v = 14$ и $u = 14, c = 5$.
Поскольку $x = 5u, y = 5v$, то $y = 70$ или $x = 70, y = 25$.
Ответ: $\{(25; 70), (70; 25)\}$.
