Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13066
2023-06-23 
Пусть $n$ гладких костяшек домино, каждая размером $1 \times 2 \times 0,25$ дюйма, положены плашмя друг на друга. На какое максимальное расстояние (в горизонтальной плоскости) можно при этих условиях сдвинуть самую верхнюю костяшку относительно самой нижней, чтобы наша стопка из домино не развалилась?
Решение:
Если мы поместим стопку из ($k -1$) прямоугольных параллелепипедов, каждый из которых имеет длину $2x$, на $k$-й горизонтальный параллелепипед того же вида и будем сдвигать нашу стопку до тех пор, пока ее центр тяжести не окажется на одной вертикали с краем этого $k$-го параллелепипеда, то центр тяжести всей конфигурации будет отстоять по горизонтали от края $k$-го параллелепипеда на расстояние $\frac{x}{k}$.
Отсюда следует, что $n$ костяшек домино нашей стопки ($x = 1$ дюйму) можно так сдвинуть между двумя вертикальными параллельными плоскостями, отстоящими друг от друга на 1 дюйм, чтобы суммарная длина «выступающих» краев, если двигаться сверху вниз, выражалась как $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n-1}$. При этом костяшки образуют полуарку, которая будет находиться в положении равновесия. Данная сумма представляет собой частичную сумму гармонического ряда; а поскольку этот ряд расходится, мы можем, выбрав $n$ достаточно большим, добиться того, чтобы край верхней костяшки отстоял по горизонтали от края нижней костяшки на любое расстояние.
Для того чтобы вся верхняя костяшка зашла за край нижней, и нужно взять по меньшей мере равным 5. В этом случае суммарная длина «выступающих» краев будет равна $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}$, или приблизительно 2,083 дюйма.
Если мы теперь сдвинем наши костяшки так, чтобы все грани $2 \times 0,25$ были параллельны одной и той же плоскости, а центр тяжести каждой верхней части нашей стопки был расположен над углом ближайшей снизу костяшки, то расстояние в горизонтальной плоскости между углами самой верхней и самой нижней костяшек увеличится по сравнению с предыдущим случаем в $\left [ 1^{2} + \left ( \frac{1}{2} \right )^{2} \right ]^{ \frac{1}{2}} = \frac{ \sqrt{5}}{2}$ раз.
Пусть $n$ гладких костяшек домино, каждая размером $1 \times 2 \times 0,25$ дюйма, положены плашмя друг на друга. На какое максимальное расстояние (в горизонтальной плоскости) можно при этих условиях сдвинуть самую верхнюю костяшку относительно самой нижней, чтобы наша стопка из домино не развалилась?
Решение:
Если мы поместим стопку из ($k -1$) прямоугольных параллелепипедов, каждый из которых имеет длину $2x$, на $k$-й горизонтальный параллелепипед того же вида и будем сдвигать нашу стопку до тех пор, пока ее центр тяжести не окажется на одной вертикали с краем этого $k$-го параллелепипеда, то центр тяжести всей конфигурации будет отстоять по горизонтали от края $k$-го параллелепипеда на расстояние $\frac{x}{k}$.
Отсюда следует, что $n$ костяшек домино нашей стопки ($x = 1$ дюйму) можно так сдвинуть между двумя вертикальными параллельными плоскостями, отстоящими друг от друга на 1 дюйм, чтобы суммарная длина «выступающих» краев, если двигаться сверху вниз, выражалась как $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n-1}$. При этом костяшки образуют полуарку, которая будет находиться в положении равновесия. Данная сумма представляет собой частичную сумму гармонического ряда; а поскольку этот ряд расходится, мы можем, выбрав $n$ достаточно большим, добиться того, чтобы край верхней костяшки отстоял по горизонтали от края нижней костяшки на любое расстояние.
Для того чтобы вся верхняя костяшка зашла за край нижней, и нужно взять по меньшей мере равным 5. В этом случае суммарная длина «выступающих» краев будет равна $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}$, или приблизительно 2,083 дюйма.
Если мы теперь сдвинем наши костяшки так, чтобы все грани $2 \times 0,25$ были параллельны одной и той же плоскости, а центр тяжести каждой верхней части нашей стопки был расположен над углом ближайшей снизу костяшки, то расстояние в горизонтальной плоскости между углами самой верхней и самой нижней костяшек увеличится по сравнению с предыдущим случаем в $\left [ 1^{2} + \left ( \frac{1}{2} \right )^{2} \right ]^{ \frac{1}{2}} = \frac{ \sqrt{5}}{2}$ раз.
