Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13040
2023-06-21 
Требуется перевернуть вверх дном $n$ чашек, следуя такому правилу: за один раз разрешается перевернуть ровно $n-1$ чашку (любые), и эту процедуру можно повторить несколько раз. Покажите, что задача разрешима при четном $n$ и неразрешима при нечетном.
Решение:
Если $n$ четно и мы $n$ раз перевернем чашки, оставляя при каждой очередной манипуляции нетронутой новую чашку, то в итоге каждая чашка перевернется $n - 1$ раз и окажется расположенной кверху дном.
Если $n$ нечетно, то будем писать возле каждой правильно стоящей чашки + 1, возле каждой чашки, перевернутой вверх дном, -1. Тогда вначале произведение всех этих чисел равно + 1. Каждый раз переворачивая чашки, мы меняем положение ($n - 1$), то есть четного числа чашек. Поэтому произведение наших чисел на каждом шаге будет по-прежнему равно + 1, а в итоге мы хотим получить произведение, равное -1, что, очевидно, невозможно.
Требуется перевернуть вверх дном $n$ чашек, следуя такому правилу: за один раз разрешается перевернуть ровно $n-1$ чашку (любые), и эту процедуру можно повторить несколько раз. Покажите, что задача разрешима при четном $n$ и неразрешима при нечетном.
Решение:
Если $n$ четно и мы $n$ раз перевернем чашки, оставляя при каждой очередной манипуляции нетронутой новую чашку, то в итоге каждая чашка перевернется $n - 1$ раз и окажется расположенной кверху дном.
Если $n$ нечетно, то будем писать возле каждой правильно стоящей чашки + 1, возле каждой чашки, перевернутой вверх дном, -1. Тогда вначале произведение всех этих чисел равно + 1. Каждый раз переворачивая чашки, мы меняем положение ($n - 1$), то есть четного числа чашек. Поэтому произведение наших чисел на каждом шаге будет по-прежнему равно + 1, а в итоге мы хотим получить произведение, равное -1, что, очевидно, невозможно.
