Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13034
2023-06-21 
Число 3 можно представить четырьмя способами как сумму одного или более положительных чисел, а именно как 3, 1 + 2, 2 + 1 и 1 + 1 + 1. Покажите, что любое целое положительное число $n$ можно подобным же образом выразить $2^{n-1}$ способами.
Решение:
Выпишем в строчку $n$ единиц с промежутками между ними. Ясно, что существует взаимно-однозначное соответствие между представлениями $n$ в виде суммы и способами заполнения ($n -1$) промежутков между единицами, куда мы либо ничего не вставляем, либо вставляем знак +. Таким образом, с каждым из ($n - 1$) промежутков мы можем поступить двумя различными способами. Следовательно, число различных способов, которыми можно представить целое число в виде суммы целых положительных слагаемых, равно $2^{n-1}$.
Число 3 можно представить четырьмя способами как сумму одного или более положительных чисел, а именно как 3, 1 + 2, 2 + 1 и 1 + 1 + 1. Покажите, что любое целое положительное число $n$ можно подобным же образом выразить $2^{n-1}$ способами.
Решение:
Выпишем в строчку $n$ единиц с промежутками между ними. Ясно, что существует взаимно-однозначное соответствие между представлениями $n$ в виде суммы и способами заполнения ($n -1$) промежутков между единицами, куда мы либо ничего не вставляем, либо вставляем знак +. Таким образом, с каждым из ($n - 1$) промежутков мы можем поступить двумя различными способами. Следовательно, число различных способов, которыми можно представить целое число в виде суммы целых положительных слагаемых, равно $2^{n-1}$.
