Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13028
2023-06-21 
Покажите, что существует бесконечно много простых чисел.
Решение:
Предположим, что существует самое большое простое число $p$. Рассмотрим число, на единицу превышающее произведение всех простых чисел, меньших или равных $p$, то есть
$Q = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cdots \cdot p + 1$.
Заметим теперь, что $Q$ не делится ни на одно простое число, участвующее в написанном выше произведении (поскольку при делении $Q$ на любое из этих чисел остаток будет равен 1). Следовательно, либо $Q$ само простое, либо, если оно составное, разлагается в произведение простых сомножителей, каждый из которых больше $p$. В любом случае существует простое число, большее $p$. Значит, среди простых чисел нет наибольшего.
Даже будучи хорошо известным, это красивое классическое доказательство, при надлежащее Евклиду, по всем критериям можно отнести к тем решениям, которые заслуживают названия элегантных.
Покажите, что существует бесконечно много простых чисел.
Решение:
Предположим, что существует самое большое простое число $p$. Рассмотрим число, на единицу превышающее произведение всех простых чисел, меньших или равных $p$, то есть
$Q = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cdots \cdot p + 1$.
Заметим теперь, что $Q$ не делится ни на одно простое число, участвующее в написанном выше произведении (поскольку при делении $Q$ на любое из этих чисел остаток будет равен 1). Следовательно, либо $Q$ само простое, либо, если оно составное, разлагается в произведение простых сомножителей, каждый из которых больше $p$. В любом случае существует простое число, большее $p$. Значит, среди простых чисел нет наибольшего.
Даже будучи хорошо известным, это красивое классическое доказательство, при надлежащее Евклиду, по всем критериям можно отнести к тем решениям, которые заслуживают названия элегантных.
