Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 12252
2023-03-07 
Вдоль дороги стоит 10 фонарей. Если перегорел один из них, а соседние светят, то дорожная служба не беспокоится. Но если перегорают два фонаря, стоящих подряд, то дорожная служба сразу меняет все перегоревшие фонари. Каждый фонарь перегорает независимо от других.
Найдите вероятность того, что при очередной замене придется поменять ровно 5 фонарей.
Решение:
Решать задачу будем в общем случае. Заменим горящий фонарь единицей, а перегоревший - нулем. Тогда сначала мы имеем ряд из п единиц, которые последовательно и в случайном порядке превращаются в нули.
а) После первого превращения два нуля подряд получиться не могут. Найдем вероятность того, что после $k$ превращений ряд не имеет двух нулей подряд. Такой ряд назовем правильным. Количество правильных рядов длины $n$ с ровно $k$ нулями равно $C_{n-k+1}^{k}$.
Заметим, что в ходе превращений $k$ нулей могут возникнуть в любом порядке, и всего таких порядков $k!$. Значит, всего существует $C_{n-k+1}^{k} \cdot k!$ способов получить из начального ряда единиц какой-нибудь правильный ряд с $k$ нулями. С другой стороны, общее число рядов длины $n$ с $k$ нулями равно $C_{n}^{k}$, и, значит, всего существует $C_{n}^{k} k!$ способов получить какой-нибудь ряд с к нулями последовательными превращениями единиц в нули.
Все эти способы равновозможны, поэтому вероятность $p_{k}$ того, что после $k$ превращений получившийся ряд будет правильным, равна $\frac{C_{n - k + 1}^{k}}{C_{n}^{k}}$. Теперь найдем
вероятность $p_{k}$ того, что два нуля подряд появятся ровно после $k$ превращений. Для этого нужно вычесть из вероятности получить правильный ряд с $k - 1$ нулем вероятность получить правильный ряд с $k$ нулями. Таким образом,
$p_{k} = r_{k-1} - r_{k} = \frac{C_{n-k+2}^{k-1}}{C_{n}^{k-1}} - \frac{C_{n-k+1}^{k}}{C_{n}^{k}}$.
Для $n = 10, k = 5$ получаем: $p = \frac{1}{7}$
Вдоль дороги стоит 10 фонарей. Если перегорел один из них, а соседние светят, то дорожная служба не беспокоится. Но если перегорают два фонаря, стоящих подряд, то дорожная служба сразу меняет все перегоревшие фонари. Каждый фонарь перегорает независимо от других.
Найдите вероятность того, что при очередной замене придется поменять ровно 5 фонарей.
Решение:
Решать задачу будем в общем случае. Заменим горящий фонарь единицей, а перегоревший - нулем. Тогда сначала мы имеем ряд из п единиц, которые последовательно и в случайном порядке превращаются в нули.
а) После первого превращения два нуля подряд получиться не могут. Найдем вероятность того, что после $k$ превращений ряд не имеет двух нулей подряд. Такой ряд назовем правильным. Количество правильных рядов длины $n$ с ровно $k$ нулями равно $C_{n-k+1}^{k}$.
Заметим, что в ходе превращений $k$ нулей могут возникнуть в любом порядке, и всего таких порядков $k!$. Значит, всего существует $C_{n-k+1}^{k} \cdot k!$ способов получить из начального ряда единиц какой-нибудь правильный ряд с $k$ нулями. С другой стороны, общее число рядов длины $n$ с $k$ нулями равно $C_{n}^{k}$, и, значит, всего существует $C_{n}^{k} k!$ способов получить какой-нибудь ряд с к нулями последовательными превращениями единиц в нули.
Все эти способы равновозможны, поэтому вероятность $p_{k}$ того, что после $k$ превращений получившийся ряд будет правильным, равна $\frac{C_{n - k + 1}^{k}}{C_{n}^{k}}$. Теперь найдем
вероятность $p_{k}$ того, что два нуля подряд появятся ровно после $k$ превращений. Для этого нужно вычесть из вероятности получить правильный ряд с $k - 1$ нулем вероятность получить правильный ряд с $k$ нулями. Таким образом,
$p_{k} = r_{k-1} - r_{k} = \frac{C_{n-k+2}^{k-1}}{C_{n}^{k-1}} - \frac{C_{n-k+1}^{k}}{C_{n}^{k}}$.
Для $n = 10, k = 5$ получаем: $p = \frac{1}{7}$
