Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 10454
2023-02-17 
Для учета посещаемости при входе в библиотеку повесили две доски. Каждый посетитель библиотеки обязан записать на одной доске, сколько читателей он застал, войдя в читальный зал, а на другой доске - сколько читателей оставалось в зале, когда он уходил из библиотеки.
Доказать, что за день на обеих досках появятся одни и те же числа (быть может, в различном порядке).
Решение:
После того как кто-нибудь из читателей входит в библиотеку, дальнейшая судьба его может сложиться по-разному, причем это различие существенно с точки зрения условий задачи. Во-первых, он может обнаружить, что оставил дома свой читательский билет и тотчас же покинуть библиотеку. Ясно, что в этом случае число сидящих в читальном зале не изменится и на обеих досках забывчивый читатель запишет одно и то же число. Во-вторых, придя в библиотеку, читатель может остаться в ней на некоторое время. В этом случае после прихода нового читателя число находящихся в читальном зале людей возрастает.
Рассмотрим второй случай более подробно.
Читатели, безропотно подчинившиеся столь странным порядкам в библиотеке, вряд ли станут возражать, если мы выскажем одно замечание, ничего не меняющее с точки зрения условий задачи, но позволяющее несколько упростить рассуждения. Можно отвлечься от индивидуальных особенностей читателей, поскольку совершенно безразлично, кто из них в данный момент входит в читальный зал и кто покидает его. В частности, мы вправе считать, что из зала всегда выходит тот, кто пришел последним.
Рассмотрим пример. Предположим, что на спине у одного из многотерпеливых читателей мы нарисовали красной краской большую букву $А$. Придя в библиотеку, читатель $А$ записал на «доске для входящих», что в момент его появления в зале находилось $n$ читателей. Затем читатель $А$ садится и приступает к работе, а остальные читатели продолжают ходить то туда, то сюда. Предположим, что по прошествии некоторого времени в зале прибавилось $k$ читателей. Читатель $А$ приподнялся было со своего места и направился к двери, но заместитель заведующего библиотекой преградил ему путь и настоятельно попросил остаться. Вместо $А$ заместитель заведующего предложил покинуть библиотеку последнему из пришедших читателей, который в самом низу «доски для входящих» поставил число $n + k$. С точки зрения задачи несущественно, что читатель $А$ вынужден был весь день торчать в читальном зале. К тому же заведующий библиотекой, узнав о самоуправстве своего заместителя, уволил его.
В силу сделанного нами замечания о неразличимости читателей и предположения о том, что уходит всегда тот, кто пришел последним, все, кто уходит из библиотеки, пишут на «доске для уходящих» те же числа, которые они писали на «доске для приходящих». Если начиная с некоторого момента времени поток посетителей библиотеки иссякает, то очередь на выход устанавливается в порядке, обратном тому, в котором читатели пришли в библиотеку. Дождется своей очереди и изрядно отощавший читатель $А$, ставший невольно жертвой самоуправства (не столько заместителя заведующего библиотекой, сколько нашего) Так один за другим библиотеку покинут все читатели. Следовательно, каждому читателю можно поставить во взаимно однозначное соответствие пару чисел. Поскольку внесенные нами изменения были несущественными с точки зрения условий задачи, то мы пришли бы к тому же результату и в том случае, если бы вовсе не вносили их. Таким образом, на обоих досках (для «входящих» и «выходящих» читателей) за день появятся одни и те же числа, хотя и в различном порядке.
Для учета посещаемости при входе в библиотеку повесили две доски. Каждый посетитель библиотеки обязан записать на одной доске, сколько читателей он застал, войдя в читальный зал, а на другой доске - сколько читателей оставалось в зале, когда он уходил из библиотеки.
Доказать, что за день на обеих досках появятся одни и те же числа (быть может, в различном порядке).
Решение:
После того как кто-нибудь из читателей входит в библиотеку, дальнейшая судьба его может сложиться по-разному, причем это различие существенно с точки зрения условий задачи. Во-первых, он может обнаружить, что оставил дома свой читательский билет и тотчас же покинуть библиотеку. Ясно, что в этом случае число сидящих в читальном зале не изменится и на обеих досках забывчивый читатель запишет одно и то же число. Во-вторых, придя в библиотеку, читатель может остаться в ней на некоторое время. В этом случае после прихода нового читателя число находящихся в читальном зале людей возрастает.
Рассмотрим второй случай более подробно.
Читатели, безропотно подчинившиеся столь странным порядкам в библиотеке, вряд ли станут возражать, если мы выскажем одно замечание, ничего не меняющее с точки зрения условий задачи, но позволяющее несколько упростить рассуждения. Можно отвлечься от индивидуальных особенностей читателей, поскольку совершенно безразлично, кто из них в данный момент входит в читальный зал и кто покидает его. В частности, мы вправе считать, что из зала всегда выходит тот, кто пришел последним.
Рассмотрим пример. Предположим, что на спине у одного из многотерпеливых читателей мы нарисовали красной краской большую букву $А$. Придя в библиотеку, читатель $А$ записал на «доске для входящих», что в момент его появления в зале находилось $n$ читателей. Затем читатель $А$ садится и приступает к работе, а остальные читатели продолжают ходить то туда, то сюда. Предположим, что по прошествии некоторого времени в зале прибавилось $k$ читателей. Читатель $А$ приподнялся было со своего места и направился к двери, но заместитель заведующего библиотекой преградил ему путь и настоятельно попросил остаться. Вместо $А$ заместитель заведующего предложил покинуть библиотеку последнему из пришедших читателей, который в самом низу «доски для входящих» поставил число $n + k$. С точки зрения задачи несущественно, что читатель $А$ вынужден был весь день торчать в читальном зале. К тому же заведующий библиотекой, узнав о самоуправстве своего заместителя, уволил его.
В силу сделанного нами замечания о неразличимости читателей и предположения о том, что уходит всегда тот, кто пришел последним, все, кто уходит из библиотеки, пишут на «доске для уходящих» те же числа, которые они писали на «доске для приходящих». Если начиная с некоторого момента времени поток посетителей библиотеки иссякает, то очередь на выход устанавливается в порядке, обратном тому, в котором читатели пришли в библиотеку. Дождется своей очереди и изрядно отощавший читатель $А$, ставший невольно жертвой самоуправства (не столько заместителя заведующего библиотекой, сколько нашего) Так один за другим библиотеку покинут все читатели. Следовательно, каждому читателю можно поставить во взаимно однозначное соответствие пару чисел. Поскольку внесенные нами изменения были несущественными с точки зрения условий задачи, то мы пришли бы к тому же результату и в том случае, если бы вовсе не вносили их. Таким образом, на обоих досках (для «входящих» и «выходящих» читателей) за день появятся одни и те же числа, хотя и в различном порядке.
