Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 10446
2023-02-17 
Дано $n$ точек, из которых никакие 3 не лежат на одной прямой. Несколько прямолинейных отрезков с концами в заданных точках выкрашены в красный, а несколько других - в синий цвет так, что из любой точки в любую другую можно попасть, двигаясь лишь вдоль окрашенных отрезков, причем этот путь определен однозначно.
Доказать, что оставшиеся еще не окрашенными отрезки с концами в заданных $n$ точках можно выкрасить либо в красный, либо в синий цвет так, чтобы у любого треугольника с вершинами в заданных точках число красных сторон было нечетным.
Решение:
Условимся не перекрашивать в другой цвет уже окрашенные отрезки. Пусть $AB$ - отрезок, концы которого совпадают с двумя из заданных $n$ точек, который еще не окрашен. По условиям задачи существует одна и только одна ломаная с раскрашенными звеньями, ведущая из $A$ в $B$. Обозначим эту ломаную $V_{AB}$. Выкрасим отрезок $AB$ в
синий цвет, если ломаная $V_{AB}$ содержит нечетное число синих звеньев, и в
красный цвет, если ломаная $V_{AB}$ содержит четное число синих звеньев.
(Заметим, что «правило выбора цвета» остается в силе и в том случае, когда отрезок $AB$ уже окрашен.)
Покажем, что правило выбора цвета удовлетворяет условиям задачи. Пусть $ABC$ - произвольный треугольник, вершины которого совпадают с тремя заданными точками.
Прежде всего к вершинам $A, B, C$ можно добавить такую точку $D$, что ломаные с окрашенными звеньями $V_{DA}, V_{DB}, V_{DC}$, ведущие из нее в точки $A, B$ и $С$, не имеют других общих точек, кроме $D$. (Возможно, что точка $D$ совпадает с одной из вершин треугольника $ABC$, например с вершиной $A$. В этом случае ломаная $V_{DA}$ состоит из одной - единственной точки.) Действительно, рассмотрим ломаную с окрашенными звеньями $V_{AB}$, ведущую из $A$ в $B$. Выйдя из вершины $С$ по направлению к вершине $A$ вдоль ломаной $V_{CA}$, мы рано или поздно дойдем до некоторой точки $D$ ломаной $V_{AB}$. (Если вершина $С$ принадлежит ломаной $V_{AB}$, то $D = С$. Разумеется, не исключено, что точка $D$ совпадает либо с вершиной $A$, либо с вершиной $B$.) Нетрудно видеть, что полученная точка $D$ обладает указанным выше свойством (рис.).
Пусть $х$ - число синих звеньев у ломаных $V_{DA}$ и $V_{DB}$, $у$ - число синих звеньев у ломаных $V_{DB}$ и$V_{DC}$ и $z$ - число синих звеньев у ломаных $V_{DC}$ и $V_{BA}$. Тогда по правилу выбора цвета среди вновь выкрашенных отрезков $AB, BC, AC$ имеется столько синих, сколько нечетных чисел среди тройки $х, у, z$.
Поскольку сумма $х + у + z$ четна (все синие звенья ломаных $V_{BA}, V_{DB}, V_{DC}$ при вычислении суммы учитываются дважды), то число сторон треугольника $ABC$, окрашенных в синий цвет, четно. Тем самым утверждение задачи доказано.
Дано $n$ точек, из которых никакие 3 не лежат на одной прямой. Несколько прямолинейных отрезков с концами в заданных точках выкрашены в красный, а несколько других - в синий цвет так, что из любой точки в любую другую можно попасть, двигаясь лишь вдоль окрашенных отрезков, причем этот путь определен однозначно.
Доказать, что оставшиеся еще не окрашенными отрезки с концами в заданных $n$ точках можно выкрасить либо в красный, либо в синий цвет так, чтобы у любого треугольника с вершинами в заданных точках число красных сторон было нечетным.
Решение:
Условимся не перекрашивать в другой цвет уже окрашенные отрезки. Пусть $AB$ - отрезок, концы которого совпадают с двумя из заданных $n$ точек, который еще не окрашен. По условиям задачи существует одна и только одна ломаная с раскрашенными звеньями, ведущая из $A$ в $B$. Обозначим эту ломаную $V_{AB}$. Выкрасим отрезок $AB$ в
синий цвет, если ломаная $V_{AB}$ содержит нечетное число синих звеньев, и в
красный цвет, если ломаная $V_{AB}$ содержит четное число синих звеньев.
(Заметим, что «правило выбора цвета» остается в силе и в том случае, когда отрезок $AB$ уже окрашен.)
Покажем, что правило выбора цвета удовлетворяет условиям задачи. Пусть $ABC$ - произвольный треугольник, вершины которого совпадают с тремя заданными точками.
Прежде всего к вершинам $A, B, C$ можно добавить такую точку $D$, что ломаные с окрашенными звеньями $V_{DA}, V_{DB}, V_{DC}$, ведущие из нее в точки $A, B$ и $С$, не имеют других общих точек, кроме $D$. (Возможно, что точка $D$ совпадает с одной из вершин треугольника $ABC$, например с вершиной $A$. В этом случае ломаная $V_{DA}$ состоит из одной - единственной точки.) Действительно, рассмотрим ломаную с окрашенными звеньями $V_{AB}$, ведущую из $A$ в $B$. Выйдя из вершины $С$ по направлению к вершине $A$ вдоль ломаной $V_{CA}$, мы рано или поздно дойдем до некоторой точки $D$ ломаной $V_{AB}$. (Если вершина $С$ принадлежит ломаной $V_{AB}$, то $D = С$. Разумеется, не исключено, что точка $D$ совпадает либо с вершиной $A$, либо с вершиной $B$.) Нетрудно видеть, что полученная точка $D$ обладает указанным выше свойством (рис.).
Пусть $х$ - число синих звеньев у ломаных $V_{DA}$ и $V_{DB}$, $у$ - число синих звеньев у ломаных $V_{DB}$ и$V_{DC}$ и $z$ - число синих звеньев у ломаных $V_{DC}$ и $V_{BA}$. Тогда по правилу выбора цвета среди вновь выкрашенных отрезков $AB, BC, AC$ имеется столько синих, сколько нечетных чисел среди тройки $х, у, z$.
Поскольку сумма $х + у + z$ четна (все синие звенья ломаных $V_{BA}, V_{DB}, V_{DC}$ при вычислении суммы учитываются дважды), то число сторон треугольника $ABC$, окрашенных в синий цвет, четно. Тем самым утверждение задачи доказано.
