Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 10445
2023-02-17 
Какова вероятность того, что среди пяти вытянутых номеров лото имеются по крайней мере два последовательных (то есть отличающихся друг от друга на единицу) числа?
Решение:
Пусть $p$ - вероятность, которую требуется найти, a $k$ - число способов, которыми из первых 90 натуральных чисел можно выбрать 5 таких, что любые два из них будут отличаться между собой больше, чем на 1. Поскольку из 90 чисел 5 можно выбрать $C_{90}^{5}$ способами, то
$p = 1 - \frac{k}{C_{90}^{5}}$.
Итак, исходная задача будет решена, если мы найдем число $k$.
Рассмотрим 5 номеров, среди которых нет двух последовательных:
$1 \leq a < b < c < d < e \leq 90$.
Тогда все числа
$a, b - 1, с - 2, d - 3, е - 4$
различны и могут принимать любые значения от 1 до 86. Наоборот, каждому набору чисел
$1 \leq a^{ \prime} < b^{ \prime} < c^{ \prime} < d^{ \prime} < e^{ \prime} \leq 86$
можно сопоставить пять номеров
$a^{ \prime}, b^{ \prime} + 1, c^{ \prime} + 2, d^{ \prime} + 3, e^{ \prime} + 4$,
каждый из которых совпадает с одним из чисел от 1 до 90, причем среди чисел $a^{ \prime}, b^{ \prime} + 1, с^{ \prime} + 2, d^{ \prime} + 3, e^{ \prime} + 4$ нет двух последовательных натуральных чисел. Следовательно, число $k$ равно числу способов, которыми можно выбрать 5 различных чисел из первых 86 натуральных чисел, то есть
$k = C_{86}^{5}$.
Таким образом,
$p = 1 - \frac{ C_{86}^{5}}{C_{90}^{5}} = 1 - \frac {86 \cdot 85 \cdot 84 \cdot 83 \cdot 82}{90 \cdot 89 \cdot 88 \cdot 87 \cdot 86} = 0,2 \cdots$.
Какова вероятность того, что среди пяти вытянутых номеров лото имеются по крайней мере два последовательных (то есть отличающихся друг от друга на единицу) числа?
Решение:
Пусть $p$ - вероятность, которую требуется найти, a $k$ - число способов, которыми из первых 90 натуральных чисел можно выбрать 5 таких, что любые два из них будут отличаться между собой больше, чем на 1. Поскольку из 90 чисел 5 можно выбрать $C_{90}^{5}$ способами, то
$p = 1 - \frac{k}{C_{90}^{5}}$.
Итак, исходная задача будет решена, если мы найдем число $k$.
Рассмотрим 5 номеров, среди которых нет двух последовательных:
$1 \leq a < b < c < d < e \leq 90$.
Тогда все числа
$a, b - 1, с - 2, d - 3, е - 4$
различны и могут принимать любые значения от 1 до 86. Наоборот, каждому набору чисел
$1 \leq a^{ \prime} < b^{ \prime} < c^{ \prime} < d^{ \prime} < e^{ \prime} \leq 86$
можно сопоставить пять номеров
$a^{ \prime}, b^{ \prime} + 1, c^{ \prime} + 2, d^{ \prime} + 3, e^{ \prime} + 4$,
каждый из которых совпадает с одним из чисел от 1 до 90, причем среди чисел $a^{ \prime}, b^{ \prime} + 1, с^{ \prime} + 2, d^{ \prime} + 3, e^{ \prime} + 4$ нет двух последовательных натуральных чисел. Следовательно, число $k$ равно числу способов, которыми можно выбрать 5 различных чисел из первых 86 натуральных чисел, то есть
$k = C_{86}^{5}$.
Таким образом,
$p = 1 - \frac{ C_{86}^{5}}{C_{90}^{5}} = 1 - \frac {86 \cdot 85 \cdot 84 \cdot 83 \cdot 82}{90 \cdot 89 \cdot 88 \cdot 87 \cdot 86} = 0,2 \cdots$.
