Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 10443
2023-02-17 
На всех клетках шахматной доски расставлены кубики. Грани кубиков и клетки шахматной доски конгруэнтны. У всех кубиков одна из граней выкрашена в черный цвет. Требуется повернуть кубики так, чтобы все четыре грани оказались сверху.
Доказать, что это можно сделать, если поворачивать разрешается не каждый кубик в отдельности, а лишь все кубики, стоящие на одной горизонтали или вертикали, вместе.
Решение:
Воспользуемся обычной шахматной нотацией и будем обозначать вертикали $а, b, с, \cdots, h$, а горизонтали $1, 2, \cdots, 8$. Например, кубик a1 стоит в первой горизонтали на крайнем месте слева и так далее.
Черная грань любого из кубиков может занимать одно из шести положений: «слева», «справа», «впереди», «сзади», «вверху» и «внизу». Например, для кубика $b2$ черная грань в положении «слева» соприкасается с кубиком $a2$, в положении «справа» - с кубиком $c2$, в положении «впереди» - с кубиком $b3$ и в положении «сзади» - с кубиком $b1$.
Наша цель - перевести грани всех кубиков в положение «вверху».
Займемся сначала кубиком $a1$. Поворачивая вертикаль а и горизонталь 1, переведем его черную грань в положение «впереди». При любых поворотах вертикали $а$ положение этой грани остается теперь неизменным. Следовательно, поворачивая вертикаль $а$ и горизонталь 2, мы можем перевести черную грань кубика $a2$ в положение «впереди». Поворачивая затем вертикаль $а$ (черные грани кубиков $a1$ и $a2$ сохраняют при этом положение «впереди»!) и горизонталь 3, переведем в положение «впереди» черную грань кубика $a3$ и так далее.
Когда черные грани кубиков $a1 - a8$ займут положение «впереди», мы поворотом горизонталей 1-8 переведем их в положение «вверху», а затем поворотом вертикали $а$ - в положение «слева». После этого вертикаль $а$ мы больше трогать не будем, а при повороте остальных вертикалей и горизонталей положение черных граней всех кубиков вертикали $а$ меняться не будет.
Аналогично поступим с кубиками, стоящими на вертикалях $b, с, \cdots, h$.
Когда черные грани всех кубиков будут находиться в положении «слева», повернем все вертикали от $а$ до $h$ на $90^{\circ}$ и тем самым переведем все черные грани в положение «вверху».
На всех клетках шахматной доски расставлены кубики. Грани кубиков и клетки шахматной доски конгруэнтны. У всех кубиков одна из граней выкрашена в черный цвет. Требуется повернуть кубики так, чтобы все четыре грани оказались сверху.
Доказать, что это можно сделать, если поворачивать разрешается не каждый кубик в отдельности, а лишь все кубики, стоящие на одной горизонтали или вертикали, вместе.
Решение:
Воспользуемся обычной шахматной нотацией и будем обозначать вертикали $а, b, с, \cdots, h$, а горизонтали $1, 2, \cdots, 8$. Например, кубик a1 стоит в первой горизонтали на крайнем месте слева и так далее.
Черная грань любого из кубиков может занимать одно из шести положений: «слева», «справа», «впереди», «сзади», «вверху» и «внизу». Например, для кубика $b2$ черная грань в положении «слева» соприкасается с кубиком $a2$, в положении «справа» - с кубиком $c2$, в положении «впереди» - с кубиком $b3$ и в положении «сзади» - с кубиком $b1$.
Наша цель - перевести грани всех кубиков в положение «вверху».
Займемся сначала кубиком $a1$. Поворачивая вертикаль а и горизонталь 1, переведем его черную грань в положение «впереди». При любых поворотах вертикали $а$ положение этой грани остается теперь неизменным. Следовательно, поворачивая вертикаль $а$ и горизонталь 2, мы можем перевести черную грань кубика $a2$ в положение «впереди». Поворачивая затем вертикаль $а$ (черные грани кубиков $a1$ и $a2$ сохраняют при этом положение «впереди»!) и горизонталь 3, переведем в положение «впереди» черную грань кубика $a3$ и так далее.
Когда черные грани кубиков $a1 - a8$ займут положение «впереди», мы поворотом горизонталей 1-8 переведем их в положение «вверху», а затем поворотом вертикали $а$ - в положение «слева». После этого вертикаль $а$ мы больше трогать не будем, а при повороте остальных вертикалей и горизонталей положение черных граней всех кубиков вертикали $а$ меняться не будет.
Аналогично поступим с кубиками, стоящими на вертикалях $b, с, \cdots, h$.
Когда черные грани всех кубиков будут находиться в положении «слева», повернем все вертикали от $а$ до $h$ на $90^{\circ}$ и тем самым переведем все черные грани в положение «вверху».
