Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 10403
2023-02-17 
Сколько существует пятизначных чисел, делящихся на 3, в десятичной записи которых встречается цифра 6?
Решение:
Первое решение. Разобьем все делящиеся на 3 пятизначные числа, в десятичной записи которых встречается цифра 6, на группы в зависимости от того, где находится последняя цифра 6 («места» нумеруются от единиц к старшим разрядам).
В первую группу попадут числа, оканчивающиеся цифрой 6. Три средние цифры таких чисел могут быть любыми, а первую цифру надлежит выбирать лишь из цифр $1, 2, \cdots , 9$ (поскольку пятизначное число не может начинаться с нуля) так, чтобы сумма всех цифр делилась на 3. Каждую из трех средних цифр можно выбрать 10 способами, а первую цифру - лишь 3 способами. Действительно, сумма всех цифр, кроме первой, при делении на 3 дает один из трех остатков: 0, 1 или 2. Если остаток равен 0, то первой может быть любая из цифр, образующих тройку $3, 6, 9$. Если остаток равен 1, то первой может быть любая из цифр, образующих тройку $2, 5, 8$, а если остаток равен 2, то любая из цифр 1, 4, 7. Таким образом, первая группа содержит $3 \cdot 10^{3} = 3000$ чисел.
Во вторую, третью и четвертую группы входят числа, у которых последняя цифра 6 стоит соответственно на втором (десятки), третьем (сотни) и четвертом (тысячи) месте и нет ни одной шестерки правее. Каждый из разрядов, расположенных справа от последней шестерки, можно заполнить 9 способами, поскольку среди цифр не должна встречаться шестерка. Все остальные разряды, кроме старшего, можно заполнять произвольно: в каждом из них может стоять любая из десяти цифр. Первую цифру мы выбираем так же, как и в предыдущем случае, то есть всякий раз - одну из трех допустимых цифр. Таким образом вторая группа содержит $3 \cdot 10^{2} \cdot 9 = 2700$, третья - $3 \cdot 10 \cdot 9^{2} = 2430$ и четвертая - $3 \cdot 9^{3} = 2187$ чисел.
Пятую группу образуют числа, у которых шестерка стоит лишь в старшем, пятом разряде (десятки тысяч), а во всех остальных разрядах нет ни одной шестерки. Каждую из трех средних цифр можно выбрать здесь 9 способами, поскольку этими цифрами могут быть любые цифры, кроме 6. Последнюю цифру следует выбирать из тех же 9 цифр, но так, чтобы сумма цифр делилась на 3. Последнюю цифру можно выбрать лишь 3 способами (если сумма четырех первых цифр делится на 3, то последней цифрой может быть любая из цифр $0, 3, 9$; если сумма четырех первых цифр при делении на 3 дает остаток 1, то любая из цифр $2, 5, 8$, а если остаток 2, то любая из цифр $1, 4, 7$). Таким образом, пятая группа содержит 2187 чисел.
Итак, существует $3000 + 2700 + 2430 + 2187 + 2187 = 12504$ пятизначных чисел, удовлетворяющих всем условиям задачи.
Второе решение. Разобьем решение задачи на две части: сначала подсчитаем, сколько существует пятизначных чисел, не содержащих ни одной шестерки, а затем докажем, что ровно треть из остальных делится на 3.
1. Всего имеется 90 000 пятизначных чисел. Определим, сколько из них не содержат цифры 6. Первую цифру таких чисел можно выбрать 8 способами (годится любая цифра, кроме 0 и 6), а цифры, стоящие в четырех остальных разрядах, - 9 способами (запретной для них является лишь цифра 6). Следовательно, всего имеется $8 \cdot 9^{4} = 52488$ пятизначных чисел, не содержащих цифры 6, а пятизначных чисел, содержащих по крайней мере одну шестерку, $90000 - 52488 = 37512$. Это число делится на 3.
2. Расположим все пятизначные числа в порядке возрастания и разобьем образовавшуюся последовательность на отрезки «длиной» в 10 чисел каждый, начиная с первого числа. Числа, принадлежащие одному и тому же отрезку, отличаются друг от друга лишь последними цифрами. В каждом из отрезков отметим числа, содержащие цифру 6. В некоторых отрезках отмеченными
окажутся все числа. Так будет со всеми отрезками, у которых шестерка встречается среди первых четырех цифр, остающихся неизменными при переходе от одного числа к любому другому в пределах того же отрезка. В других отрезках отмеченным окажется лишь одно число - то, которое оканчивается цифрой 6.
Определим, чему может быть равна разность двух ближайших отмеченных чисел. (На рис. числа для наглядности изображены в виде кружков: черные кружки соответствуют отмеченным числам, белые - неотмеченным.) Если два отмеченных числа принадлежат одному и тому же отрезку, то весь отрезок содержит только отмеченные числа и разность между ближайшими числами равна 1. Разность оказывается равной 1 и в том случае, если два ближайших друг к другу отмеченных числа принадлежат двум соседним отрезкам, сплошь заполненным отмеченными числами. Если из двух рассматриваемых чисел меньшее принадлежит отрезку, содержащему лишь отмеченные числа, а большее - отрезку, содержащему лишь одно отмеченное число, то разность равна 7. Если большее из двух чисел принадлежит отрезку, заполненному отмеченными числами, а меньшее - отрезку, содержащему лишь одно отмеченное число, то разность равна 4. Наконец, если оба числа принадлежат отрезкам, не содержащим других отмеченных чисел, то разность равна 10. Итак, разность двух ближайших отмеченных чисел может принимать лишь значения 1, 4, 7 и 10.
Поскольку каждое из этих четырех чисел при делении на 3 дает остаток 1, то можно утверждать, что каждое третье из расположенных в порядке возрастания отмеченных чисел делится на 3, поскольку ближайшее к отмеченному числу, делящемуся на 3 без остатка, при делении на 3 дает остаток 1; следующее за ним отмеченное число при делении на 3 дает остаток 2; ближайшее к нему отмеченное число снова нацело делится на 3 и так далее. Поскольку всех отмеченных чисел 37512 и это число делится на 3, то треть всех отмеченных чисел ($37512 : 3 = 12504$) делится на 3.
Третье решение. Каждое третье из 90000 пятизначных чисел делится на 3, то есть всего существует 30 000 пятизначных чисел, делящихся на 3. Определим, сколько из них не содержат цифры 6.
Первую цифру таких чисел можно выбрать восемью способами, поскольку на первом месте не могут стоять лишь цифры 0 и 6. Вторую, третью и четвертую цифры можно выбрать девятью способами (каждую), поскольку запрещено использовать лишь цифру 6. Последнюю цифру следует выбирать так, чтобы сумма всех пяти цифр числа лечилась на 3. В зависимости от того, чему равен остаток от деления на 3 суммы первых четырех цифр, последней цифрой может быть либо любая из цифр $1, 4, 7$, либо любая из цифр $2, 5, 8$, либо любая из цифр $0, 3, 9$. Таким образом, последнюю цифру можно выбрать тремя способами.
Следовательно, среди пятизначных чисел, делящихся на $3, 8 \cdot 9^{3} \cdot 3 = 17496$ не содержат цифры 6, а $30000 - 17496 = 12504$ содержат по крайней мере одну цифру 6.
Сколько существует пятизначных чисел, делящихся на 3, в десятичной записи которых встречается цифра 6?
Решение:
Первое решение. Разобьем все делящиеся на 3 пятизначные числа, в десятичной записи которых встречается цифра 6, на группы в зависимости от того, где находится последняя цифра 6 («места» нумеруются от единиц к старшим разрядам).
В первую группу попадут числа, оканчивающиеся цифрой 6. Три средние цифры таких чисел могут быть любыми, а первую цифру надлежит выбирать лишь из цифр $1, 2, \cdots , 9$ (поскольку пятизначное число не может начинаться с нуля) так, чтобы сумма всех цифр делилась на 3. Каждую из трех средних цифр можно выбрать 10 способами, а первую цифру - лишь 3 способами. Действительно, сумма всех цифр, кроме первой, при делении на 3 дает один из трех остатков: 0, 1 или 2. Если остаток равен 0, то первой может быть любая из цифр, образующих тройку $3, 6, 9$. Если остаток равен 1, то первой может быть любая из цифр, образующих тройку $2, 5, 8$, а если остаток равен 2, то любая из цифр 1, 4, 7. Таким образом, первая группа содержит $3 \cdot 10^{3} = 3000$ чисел.
Во вторую, третью и четвертую группы входят числа, у которых последняя цифра 6 стоит соответственно на втором (десятки), третьем (сотни) и четвертом (тысячи) месте и нет ни одной шестерки правее. Каждый из разрядов, расположенных справа от последней шестерки, можно заполнить 9 способами, поскольку среди цифр не должна встречаться шестерка. Все остальные разряды, кроме старшего, можно заполнять произвольно: в каждом из них может стоять любая из десяти цифр. Первую цифру мы выбираем так же, как и в предыдущем случае, то есть всякий раз - одну из трех допустимых цифр. Таким образом вторая группа содержит $3 \cdot 10^{2} \cdot 9 = 2700$, третья - $3 \cdot 10 \cdot 9^{2} = 2430$ и четвертая - $3 \cdot 9^{3} = 2187$ чисел.
Пятую группу образуют числа, у которых шестерка стоит лишь в старшем, пятом разряде (десятки тысяч), а во всех остальных разрядах нет ни одной шестерки. Каждую из трех средних цифр можно выбрать здесь 9 способами, поскольку этими цифрами могут быть любые цифры, кроме 6. Последнюю цифру следует выбирать из тех же 9 цифр, но так, чтобы сумма цифр делилась на 3. Последнюю цифру можно выбрать лишь 3 способами (если сумма четырех первых цифр делится на 3, то последней цифрой может быть любая из цифр $0, 3, 9$; если сумма четырех первых цифр при делении на 3 дает остаток 1, то любая из цифр $2, 5, 8$, а если остаток 2, то любая из цифр $1, 4, 7$). Таким образом, пятая группа содержит 2187 чисел.
Итак, существует $3000 + 2700 + 2430 + 2187 + 2187 = 12504$ пятизначных чисел, удовлетворяющих всем условиям задачи.
Второе решение. Разобьем решение задачи на две части: сначала подсчитаем, сколько существует пятизначных чисел, не содержащих ни одной шестерки, а затем докажем, что ровно треть из остальных делится на 3.
1. Всего имеется 90 000 пятизначных чисел. Определим, сколько из них не содержат цифры 6. Первую цифру таких чисел можно выбрать 8 способами (годится любая цифра, кроме 0 и 6), а цифры, стоящие в четырех остальных разрядах, - 9 способами (запретной для них является лишь цифра 6). Следовательно, всего имеется $8 \cdot 9^{4} = 52488$ пятизначных чисел, не содержащих цифры 6, а пятизначных чисел, содержащих по крайней мере одну шестерку, $90000 - 52488 = 37512$. Это число делится на 3.
2. Расположим все пятизначные числа в порядке возрастания и разобьем образовавшуюся последовательность на отрезки «длиной» в 10 чисел каждый, начиная с первого числа. Числа, принадлежащие одному и тому же отрезку, отличаются друг от друга лишь последними цифрами. В каждом из отрезков отметим числа, содержащие цифру 6. В некоторых отрезках отмеченными
окажутся все числа. Так будет со всеми отрезками, у которых шестерка встречается среди первых четырех цифр, остающихся неизменными при переходе от одного числа к любому другому в пределах того же отрезка. В других отрезках отмеченным окажется лишь одно число - то, которое оканчивается цифрой 6.
Определим, чему может быть равна разность двух ближайших отмеченных чисел. (На рис. числа для наглядности изображены в виде кружков: черные кружки соответствуют отмеченным числам, белые - неотмеченным.) Если два отмеченных числа принадлежат одному и тому же отрезку, то весь отрезок содержит только отмеченные числа и разность между ближайшими числами равна 1. Разность оказывается равной 1 и в том случае, если два ближайших друг к другу отмеченных числа принадлежат двум соседним отрезкам, сплошь заполненным отмеченными числами. Если из двух рассматриваемых чисел меньшее принадлежит отрезку, содержащему лишь отмеченные числа, а большее - отрезку, содержащему лишь одно отмеченное число, то разность равна 7. Если большее из двух чисел принадлежит отрезку, заполненному отмеченными числами, а меньшее - отрезку, содержащему лишь одно отмеченное число, то разность равна 4. Наконец, если оба числа принадлежат отрезкам, не содержащим других отмеченных чисел, то разность равна 10. Итак, разность двух ближайших отмеченных чисел может принимать лишь значения 1, 4, 7 и 10.
Поскольку каждое из этих четырех чисел при делении на 3 дает остаток 1, то можно утверждать, что каждое третье из расположенных в порядке возрастания отмеченных чисел делится на 3, поскольку ближайшее к отмеченному числу, делящемуся на 3 без остатка, при делении на 3 дает остаток 1; следующее за ним отмеченное число при делении на 3 дает остаток 2; ближайшее к нему отмеченное число снова нацело делится на 3 и так далее. Поскольку всех отмеченных чисел 37512 и это число делится на 3, то треть всех отмеченных чисел ($37512 : 3 = 12504$) делится на 3.
Третье решение. Каждое третье из 90000 пятизначных чисел делится на 3, то есть всего существует 30 000 пятизначных чисел, делящихся на 3. Определим, сколько из них не содержат цифры 6.
Первую цифру таких чисел можно выбрать восемью способами, поскольку на первом месте не могут стоять лишь цифры 0 и 6. Вторую, третью и четвертую цифры можно выбрать девятью способами (каждую), поскольку запрещено использовать лишь цифру 6. Последнюю цифру следует выбирать так, чтобы сумма всех пяти цифр числа лечилась на 3. В зависимости от того, чему равен остаток от деления на 3 суммы первых четырех цифр, последней цифрой может быть либо любая из цифр $1, 4, 7$, либо любая из цифр $2, 5, 8$, либо любая из цифр $0, 3, 9$. Таким образом, последнюю цифру можно выбрать тремя способами.
Следовательно, среди пятизначных чисел, делящихся на $3, 8 \cdot 9^{3} \cdot 3 = 17496$ не содержат цифры 6, а $30000 - 17496 = 12504$ содержат по крайней мере одну цифру 6.
