Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 10087
2022-12-06 
Куб покрасили снаружи белой краской и распилили на 64 маленьких кубика. Затем из маленьких кубиков произвольным образом составили куб. (Кубики могли не только поменяться местами, но и повернуться.) Какова вероятность того, что он будет белым снаружи? (Все способы составления большого куба считаются равновероятными.)
Решение:
Предположим сначала, что сдвинули с места только один маленький кубик, скажем, стоящий в углу (рис.). Сколькими способами можно его поставить на место? В точку А можно поместить любую из восьми вершин кубика. При этом его можно повернуть тремя различными способами. Всего получается 24 варианта. Столько же вариантов возвращения каждого из остальных кубиков. Комбинируя их между собой, получаем $24^{64}$ способов.
Чтобы прийти к общему случаю, мы должны еще рассмотреть все способы, которыми можно переставить кубики (не поворачивая их). Таких перестановок всего 641. А общее число способов сложить куб равно $24^{64} \cdot 64!$.
Подсчитаем теперь число способов, при которых получается куб, окрашенный снаружи в белый цвет. Среди 64 кубиков имеется:
1) 8, у которых окрашено 3 грани,
2) 24, у которых окрашено 2 грани,
3) 24, у которых окрашена 1 грань,
4) 8, у которых нет окрашенных граней.
Покажите сами, что для получения куба, окрашенного снаружи, кубики 1-го типа нужно располагать в вершинах куба, причем каждый из них можно повернуть тремя способами. Это дает $3^{8} \cdot 8!$ возможностей. Аналогично, для кубиков 2-го типа имеется $2^{24} \cdot 24!$ нужных расположений, для кубиков 3-го типа $4^{24} \cdot 24!$ расположений и, наконец, для кубиков 4-го типа $24^{8} \cdot 8!$ расположений. Комбинируя расположения кубиков всех четырех типов, получим, что всего существует
$3^{8} \cdot 8! \cdot 2^{24} \cdot 24! \cdot 4^{24} \cdot 24! \cdot 24^{8} \cdot 8!$
способов составить куб, окрашенный снаружи. Искомая вероятность $p$ получается как частное от деления этого числа на общее число способов составления куба, т. е. она равна
$p = \frac{3^{8} \cdot 8^{21} \cdot 24^{8} \cdot (8!)^{2} \cdot (24!)^{2}}{24^{64} \cdot 64!} = \frac{(8!)^{2} \cdot (24!)^{2}}{3^{48} \cdot 8^{32} \cdot 64! }$.
Оценить величину этого числа можно с помощью приближенных формул, известных в математическом анализе. Оказывается, что $p < 10^{-83}$. Для сравнения отметим, что по подсчетам физиков число атомов в видимей части Вселенной не превосходит $10^{68}$.
Куб покрасили снаружи белой краской и распилили на 64 маленьких кубика. Затем из маленьких кубиков произвольным образом составили куб. (Кубики могли не только поменяться местами, но и повернуться.) Какова вероятность того, что он будет белым снаружи? (Все способы составления большого куба считаются равновероятными.)
Решение:
Предположим сначала, что сдвинули с места только один маленький кубик, скажем, стоящий в углу (рис.). Сколькими способами можно его поставить на место? В точку А можно поместить любую из восьми вершин кубика. При этом его можно повернуть тремя различными способами. Всего получается 24 варианта. Столько же вариантов возвращения каждого из остальных кубиков. Комбинируя их между собой, получаем $24^{64}$ способов.
Чтобы прийти к общему случаю, мы должны еще рассмотреть все способы, которыми можно переставить кубики (не поворачивая их). Таких перестановок всего 641. А общее число способов сложить куб равно $24^{64} \cdot 64!$.
Подсчитаем теперь число способов, при которых получается куб, окрашенный снаружи в белый цвет. Среди 64 кубиков имеется:
1) 8, у которых окрашено 3 грани,
2) 24, у которых окрашено 2 грани,
3) 24, у которых окрашена 1 грань,
4) 8, у которых нет окрашенных граней.
Покажите сами, что для получения куба, окрашенного снаружи, кубики 1-го типа нужно располагать в вершинах куба, причем каждый из них можно повернуть тремя способами. Это дает $3^{8} \cdot 8!$ возможностей. Аналогично, для кубиков 2-го типа имеется $2^{24} \cdot 24!$ нужных расположений, для кубиков 3-го типа $4^{24} \cdot 24!$ расположений и, наконец, для кубиков 4-го типа $24^{8} \cdot 8!$ расположений. Комбинируя расположения кубиков всех четырех типов, получим, что всего существует
$3^{8} \cdot 8! \cdot 2^{24} \cdot 24! \cdot 4^{24} \cdot 24! \cdot 24^{8} \cdot 8!$
способов составить куб, окрашенный снаружи. Искомая вероятность $p$ получается как частное от деления этого числа на общее число способов составления куба, т. е. она равна
$p = \frac{3^{8} \cdot 8^{21} \cdot 24^{8} \cdot (8!)^{2} \cdot (24!)^{2}}{24^{64} \cdot 64!} = \frac{(8!)^{2} \cdot (24!)^{2}}{3^{48} \cdot 8^{32} \cdot 64! }$.
Оценить величину этого числа можно с помощью приближенных формул, известных в математическом анализе. Оказывается, что $p < 10^{-83}$. Для сравнения отметим, что по подсчетам физиков число атомов в видимей части Вселенной не превосходит $10^{68}$.
