2018-11-09
Дана бесконечная плоская проводящая сеть с квадратными ячейками (рис.). Сопротивление каждого прямолинейного проводника, соединяющего два ближайших узла сети, равно $r$. Определить сопротивление между точками A и В в этой сети.
Решение:
Если бы мы имели только один электрод, с которого стекает ток $i$, и приложили бы его к точке А, то по соображениям симметрии ток распределялся бы на сети резисторов так, что к точке В подходил бы ток, равный $i/4$ (рис. а). Аналогичная картина должна наблюдаться и для электрода, «собирающего> ток $i$ и приложенного к точке В. Через ветвь АВ к точке В будет подходить ток $i/4$ (рис. б). Распределение токов для двух электродов является суммой распределений токов от отдельных электродов; следовательно, при подключении рассматриваемой сети к источнику в точках А и В через ветвь А В будет протекать ток $i/4 + i/4 = i/2$. Значит, напряжение между точками А и В будет равно $U_{AB} = ri/2$, а эквивалентное сопротивление $R_{AB} = U_{AB}/i = r/2$.
Заметим, что решение намного бы усложнилось, если бы точки А и В не были ближайшими узлами сети. Например, определить эквивалентное сопротивление для точек А и С (рис.) гораздо труднее.