2018-11-09
Резисторы $r$ и $r_{2}, r_{3}, r_{4}, r_{5}$ соединены по схеме, показанной на рис. Определить сопротивление между точками A и В. Можно ли определить искомое сопротивление, представив указанную схему в виде параллельных и последовательных соединений тех же резисторов $r_{1}, r_{2}, r_{3}, r_{4}, r_{5}$?
Решение:
Для простоты будем считать, что полный ток, проходящий через точку A, равен $i = 1$. Согласно первому закону Кирхгофа, распределение токов в контуре можно представить так, как показано на рис. Из второго закона Кирхгофа для участка ACDA имеем
$i_{1}r_{1} + (i_{1} - i_{2})r_{5} + (i_{1} - 1) r_{3} = 0$.
В то же время для участка CBDC
$i_{2}r_{2} + (i_{2} - 1)r_{4} + (i_{2} - i_{1}) r_{5} = 0$.
Таким образом, мы получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
$i_{1}(r_{1} + r_{3} + r_{5} ) + i_{2}( - r_{5} ) = r_{3}$,
$i_{1}(- r_{5} ) + i_{2}(r_{2} + r_{4} + r_{5}) = r_{4}$.
Эту систему можно решить двумя способами. Воспользуемся методом детерминантов (определителей). Детерминант системы
$W = \begin{vmatrix} r_{1} + r_{3} + r_{5}, & - r_{5} \\ - r_{5} & r_{2} + r_{4}+ r_{5} \end{vmatrix} = (r_{1} + r_{3} )(r_{2} + r_{4} ) + r_{5} (r_{1} + r_{2} + r_{3} + r_{4} )$.
Следовательно,
$i_{1} = \frac{1}{W} \begin{vmatrix} r_{3} & r_{4} \\ -r_{5} & r_{2} + r_{4} + r_{5} \end{vmatrix} = \frac{1}{W} [r_{3}(r_{2} + r_{4} + r_{5} ) + r_{4}r_{5} ]$,
$i_{2} = \frac{1}{W} \begin{vmatrix} r_{1} + r_{3} + r_{5} & - r_{5} \\ r_{3} & r_{4} \end{vmatrix} = \frac{1}{W} [r_{4}(r_{1} + r_{3} + r_{5} ) + r_{3}r_{5} ]$,
Из определения эквивалентного сопротивления
$iR_{AB} = i_{1}r_{1} + i_{2}r_{2}$<
но $i = 1$, значит, $iR_{AB} = i_{1}r_{1} + r_{2}r_{2}, R_{AB} = i_{1}r_{1} + i_{2}r_{2}$.
Подставляя вместо $i_{1}$ и $i_{2}$ полученные выражения, находим
$R_{AB} = \frac{r_{1}r_{3}(r_{2} + r_{4} ) + r_{2}r_{4} (r_{1} + r_{3} ) + r_{5}(r_{1} + r_{2} )(r_{2} + r_{4} ) }{(r_{1} + r_{3} )(r_{2} + r_{4} ) + r_{5}(r_{1} + r_{2} + r_{3} + r_{4} ) }$.
Приведенную в задаче систему резисторов в общем случае не удается представить в виде комбинации последовательно-параллельных соединений. В этом можно убедиться, рассмотрев все возможные последовательно-параллельные соединения данных 5 резисторов и определив соответствующие эквивалентные сопротивления. В каждом случае получается иной результат. Схема, изображенная на рис., является простейшей схемой такого рода.
При решении данной задачи мы предполагали, что ток, входящий в узел A, равен 1. Очевидно, что это предположение не влияет на конечный результат и делается лишь для удобства вычислений.