2018-11-04
Имеется 10 одинаковых флаконов с жидкостью. Они хранятся внутри ящика, из которого тепло наружу не выходит. Для лучшего хранения каждый флакон надо на некоторое время нагреть до температуры $+90^{ \circ} С$. Для этого взяли первый флакон и нагрели его до нужной температуры, затратив на это количество теплоты $Q=30 кДж$. Затем поставили его внутрь ящика и подождали, пока температуры всех флаконов не выровнялись за счет теплообмена. Затем взяли флакон 2 и проделали с ним ту же самую процедуру, включая последующее выравнивание температур, и т.д. Какое количество теплоты потребуется для прогрева 10-го флакона?
Решение:
Поскольку флаконы все одинаковые, то теплоемкости $C$ у всех одинаковые. В первый раз изменение $\Delta T_{1}$ температуры флакона 1 связано с количеством энергии соотношением $C \Delta Т_{1} = Q$. При последующем распределении этой избыточной энергии по всем $N = 10$ флаконам внутри ящика, температуры не нагревавшихся флаконов возрастут на $\Delta T_{1}/N$ градусов. После этого флакон 2 достаточно будет подогревать на $\Delta T_{1} - \frac{ \Delta T_{1}}{N} = \Delta T_{1} \frac{N - 1}{N}$ т.е. для этого потребуется $Q_{2} = Q \frac{N-1}{N} = 27 кДж$. Сама по себе величина конечной температуры не имеет значения, главное, что она для всех одинакова.
Можно заметить следующее: приведенное выше рассуждение верно для любой пары соседних флаконов, т.е. не только для 2 и 1 отношение изменений температур и затраченных энергий равно $\frac{N-1}{N}$, но и для 3 и 2, 8 и 7 и т.д. Т.е. для прогрева 10 надо будет $Q \left ( \frac{N-1}{N} \right )^{N-1}$.
Вычислить значение коэффициента $\left ( \frac{N-1}{N} \right )^{N - 1}$ без калькулятора быстро не получится. При $N = 10$ получается $(0,9)^{9} \approx 0,39$, т.е. для 10-го флакона потребуется $Q_{10} \approx 11,6 кДж$.
Интересно, что даже если флаконов в ящике было бы гораздо больше, например, $N = 100000000$, то отношение $Q_{N}/Q$ будет примерно таким же, около 0,37. Связано это с тем, что коэффициент $\left ( \frac{N}{N-1} \right )^{N}$ при увеличении $N$ будет все ближе и ближе к числу $e = 2,7182818284590 \cdots (1/e \approx 0,367879441 \cdots)$.