2018-11-04
В двух стаканах находится одинаковое количество некой жидкости: в одном стакане с температурой $T_{1} =80^{ \circ} C$, в другом - с комнатной температурой $T_{2} =20^{ \circ} C$. После того как в горячий стакан опустили ложку, первоначально имеющую комнатную температуру $T_{2}$, температура стакана понизилась до $T_{3} = 70^{ \circ} C$. Какой станет температура в стакане с холодной жидкостью $T_{x}$, если в него перенести ложку из горячего стакана? Обменом теплом с окружающей средой пренебречь.
Решение:
Пусть теплоемкость стакана с жидкостью $C_{0}$, а ложки - $C$.
Баланс тепла при погружении ложки в горячий стакан: $C_{0}T_{3} + CT_{3} = C_{0}T_{1} + CT_{2}$ или
$C_{0}(T_{1} - T_{3}) = C(T_{3} - T_{2})$ (1),
При помещении ложки в холодный стакан: $C_{0}T_{3} + CT_{3} = C_{0}T_{1} + CT_{2}$ или $C_{0}(T_{x} - T_{2}) = C(T_{3} - T_{x})$ (2).
Поделив (1) на (2), получим $(T_{1} - T_{3} )( T_{3} - T_{x} ) = ( T_{3} - T_{2} )( T_{x} - T_{2})$.
Откуда $T_{x} = \frac{(T_{3} - T_{2} )T_{2} + (T_{1} - T_{3} )T_{3} }{T_{1} - T_{2} } = \frac{50 \cdot 20 + 10 \cdot 70}{60} \approx 28,3^{ \circ} С$.
При решении этой задачи возможны были «промежуточные упрощения».
Например: Из (1) $C = C_{0} \frac{T_{1} - T_{3} }{T_{3} - T_{2} } = C_{0} \frac{80 - 70}{70 - 20} = \frac{C_{0} }{5}$. С учетом этого из (2) $\left ( C_{0} + \frac{C_{0} }{5} \right ) T_{x} = C_{0}T_{2} + \frac{C_{0} }{5}T_{3}$.
Откуда $T_{x} = \frac{5}{6} \left ( 20 + \frac{70}{5} \right ) = \frac{170}{6} \approx 28,3^{ \circ} С$.