2018-11-04
Деревянный сосуд цилиндрической формы плавает в воде, погрузившись на 0,2 своей высоты, когда он пустой, и на 0,95 высоты, когда он заполнен водой. Во сколько раз плотность дерева, из которого изготовлен сосуд, меньше плотности воды?
Решение:
Обозначим: $\rho$ - плотность дерева, $\rho_{0}$ - плотность воды, $V$ - внешний объем сосуда, $V_{1}$ - его внутренний объем, $H, h$ и $h_{1}$ - высота сосуда, глубина его погружения в пустом и наполненном состоянии, соответственно.
Равновесие пустого сосуда:
$\rho g(V - V_{1}) = \rho_{0}gV \frac{h}{H}$, откуда $\rho gV_{1} = gV \left ( \rho - \rho_{0} \frac{h}{H} \right )$ (1)
Равновесие наполненного сосуда: $\rho g(V - V_{1} ) + \rho_{0}gV_{1} = \rho_{0}gV \frac{h_{1} }{H}$, откуда $g( \rho - \rho_{0} ) V_{1} = gV \left ( \rho - \rho_{0} \frac{h_{1} }{H} \right )$ (2)
Поделив (1) на (2), получим:
$\frac{V \left ( \rho - \rho_{0} \frac{h}{H} \right ) }{ V \left ( \rho - \rho_{0} \frac{h_{1} }{H} \right ) } = \frac{ \rho V_{1} }{( \rho - \rho_{0} )V_{1} }$ или $\left ( 1 - \frac{ \rho_{0} }{ \rho} \right ) \left ( 1 - \frac{ \rho_{0} }{ \rho } \frac{h}{H} \right ) = \left ( 1 - \frac{ \rho_{0} }{ \rho } \frac{h_{1} }{H} \right )$. Откуда $\frac{ \rho_{0} }{ \rho} = \frac{1 + \frac{h}{H} - \frac{h_{1} }{H} }{ \frac{h}{H} } = 1,25$.
Плотность дерева в 1,25 раз меньше плотности воды. Ответ: 1,25 или в 1,25 раз