2018-11-04
В пенал вставлены четыре разных шарика, разделенных одинаковыми прикрепленными к ним пружинами. Крайние пружины прикреплены к пеналу. Когда пенал установили вертикально, длины пружин приняли указанные на рисунке значения (в сантиметрах). Пенал перевернули. Какой после этого будет длина - $Y_{1}$ нижней (в новом положении пенала) пружины? Ответ выразить в сантиметрах.
Решение:
Если соседние пружины (например, 1 и 2) растянуты по отношению к недеформированному состоянию на $\Delta X_{1} = X_{1} - X_{0}$ и $\Delta X_{2} = X_{2} - X_{0}$, соответственно, то в равновесии
$mg = k( \Delta X_{1} - \Delta X_{2} ) = k(X_{1} - X_{2})$ (1),
где $m$ - масса 1-го (верхнего) шарика.
При этом ответ будет тот же и для растянутых ($\Delta X > 0$) и для сжатых пружин ($\Delta X < 0$).
Аналогично (1) записывается условие равновесия для любого шарика, из которых следует, что 2-й шарик имеет массу $2m$, 3-й - $m$ , 4-й (нижний) - $2m$.
После переворачивания пенала массы шариков сверху будут распределены массам как $2m, m, 2m, m$. Сумма длин всех пружинок сохранится.
$X_{1} + X_{2} + X_{3} + X_{4} + X_{5} = 11+10+8+7+5=41 см$.
Следовательно, $Y_{1} + Y_{2} + Y_{3} + Y_{4} + Y_{5} = 41 см$ (2)
Используя опять условия равновесия шариков, получим $Y_{5} - Y_{4} = 2, Y_{4} - Y_{3} = 1, Y_{3} - Y_{2} = 2, Y_{2} - Y_{1} = 1$, а с учетом (2) $Y_{1} + (Y_{1} + 1) + (Y_{1} + 3) + (Y_{1} + 4) + (Y_{1} + 6 ) = 41 см$ или $5Y_{1} = 27 см$.