2018-11-04
На графике представлены результаты испытания - зависимость доли потерянной кинетической энергии некой массивной тележки от ее скорости после удара об абсолютно твердую стенку очень большой массы. На гладком горизонтальном столе эта тележка наезжает со скоростью $U_{0} = 4 м/с$ на точно такую же, покоящуюся. Найти скорости тележек после лобового удара. Ответ выразить в м/с.
Решение:
Потери энергии равны потерям энергии 2-х тележек, движущихся со скоростью $U_{0}/2$.
При скорости $U_{0}/2 = 2 м/с$ коэффициент потерь равен 0,1.
Полная потеря равна $2 \cdot 0,1 \cdot m \frac{U^{2} }{8} = Km \frac{U^{2} }{2}$, где $m$ - масса одной тележки. То есть, потеря энергии в нашем случае равняется $K_{0}m \frac{U^{2} }{2}$, где коэффициент потерь $K_{0} = 0,05$.
С учетом этого, запишем ЗСЭ и ЗСИ при лобовом ударе.
$\begin{cases} (1 - K_{0} ) \frac{mU_{0}^{2} }{2} = \frac{mU_{1}^{2} }{2} + \frac{mU_{2}^{2} }{2} \\ mU_{0} = mU_{1} + mU_{2} \end{cases} $ (1)
Решая квадратное уравнение (1), получим
$U_{1} = \frac{U_{0}}{2} (1+ \sqrt{1 - 2K_{0}}) \approx 3,897 м/с, U_{2} = \frac{U_{0} }{2} (1 - \sqrt{1 - 2K_{0}}) \approx 0,103 м/с$.
Задачу можно решить методически проще, переходя в систему отсчета, движущуюся со скоростью $U_{0}/2$, а после лобового удара - обратно.
По определению доли потерянной энергии $\frac{mU^{2}}{2} = (1 - K) \frac{mU_{0}^{2} }{2}$. Т. е., при скорости тележки $U_{0}$, ее скорость после удара о массивную стенку равна $U = U_{0} \sqrt{1 - K}$ (2), где коэффициент $K$ соответствует $U_{0}$. При наезде одной тележки на другую в системе отсчета, движущейся со скоростью $U_{0}/2$, скорости тележек будут равны $U_{0}/2$ и направлены навстречу друг другу. Согласно (2) скорости тележек после удара будут $\frac{U_{0} }{2} \sqrt{1 - K}$ и $- \frac{U_{0} }{2} \sqrt{1 - K}$ соответственно. Здесь $K$ соответствует $U_{0}/2$ ($K = 0,1$ для $U_{0}/2 = 2 м/с$). При переходе обратно в лабораторную систему стола (добавляя $U_{0}/2$ к скорости каждой тележки) получим $U_{1} = \frac{ U_{0}}{2} (1+ \sqrt{1 - K}) \approx 3,897 м/с, U_{2} = \frac{ U_{0}}{2}(1 - \sqrt{1 - K}) \approx 0,103 м/с$.