2018-11-04
Тележка и ящик с равными массами удерживаются на расстоянии $L = 50 см$ друг от друга на плоскости, наклоненной под углом $\alpha = 15^{ \circ}$ к горизонту. Тележку отпускают. На какое расстояние х сместится ящик по плоскости за время между 1-м и 2-м упругими соударениями? Коэффициент трения скольжения между ящиком и плоскостью $\mu = 0,4$, трением между тележкой и плоскостью пренебречь. Ответ получить в сантиметрах с точностью до 2-х значащих цифр.
Решение:
Скорость тележки перед 1-м соударением $V_{0} = \sqrt{2gL \sin \alpha}$ (1).
После взаимодействия тележка останавливается, а ящик приобретает скорость $V_{0}$.
Далее ящик движется равнозамедленно с ускорением $\mu g \cos \alpha - g \sin \alpha$, а тележка - равноускоренно с ускорением $g \sin \alpha$.
Зависимость от времени расстояния, пройденного тележкой $\frac{g \sin \alpha }{2} t^{2}$ (2) и ящиком $V_{0}t - \frac{ \mu g \cos \alpha - g \sin \alpha}{2} t^{2}$ (3)
Приравнивая (2) и (3), находим время движения ящика до 2-го соударения $t_{1-2} = \frac{2V_{0} }{ \mu g \cos \alpha}$ (4).
Проверим, сохраняет ли движение ящик перед 2-м соударением. Его скорость $V_{0} ( \mu g \cos \alpha - g \sin \alpha)t_{1-2} = V_{0} - 2V_{0} \left ( 1 - \frac{tg \alpha}{ \mu} \right ) = V_{0} \left ( \frac{2tg \alpha}{ \mu} - 1 \right ) > 0$, так как $tg \alpha \approx 0,268$. Все верно.
Подставляя (4) в (3) $V_{0} \frac{2V_{0} }{ \mu g \cos \alpha} - \frac{ \mu g \cos \alpha - g \sin \alpha}{2} \left ( \frac{2V_{0} }{ \mu g \cos \alpha} \right )^{2} = \frac{2V_{0}^{2} \sin \alpha }{ \mu^{2} g \cos^{2} \alpha }$.
С учетом (1) $\frac{2V_{0}^{2} \sin \alpha }{ \mu^{2} g \cos^{2} \alpha } = L \frac{4}{ \mu^{2} } tg^{2} \alpha \approx 88 см$.