2018-11-04
Комета представляет собой два соприкасающихся скрепленных между собой шара одинакового размера и массы. Во сколько раз ускорение свободного падения в т. В будет меньше, чем ускорение свободного падения в т. А?
Решение:
Пусть радиус каждого шара равен $R$. Если для одиночного шара ускорение свободного падения на его поверхности равно $g_{0}$, то на расстоянии от его центра $r > R$ ускорение свободного падения (из закона всемирного тяготения): $g = g_{0} \frac{R^{2} }{r^{2} }$.
Точка А находится на расстоянии $3R$ от центра О «правого» шара.
Поэтому из принципа суперпозиции ускорение свободного падения в т. A $g_{A} = g_{0} + g_{0} \frac{R^{2}}{(3R)^{2} } = \frac{10}{9} g_{0}$.
Точка В находится на расстоянии $\sqrt{ R^{2} + 4R^{2}} = \sqrt{5}R$ от центра О «правого» шара, а вектор ускорения свободного падения от этого шара направлен вдоль отрезка ОВ и равен $g = g_{0} \frac{R^{2} }{5R^{2} } = \frac{g_{0} }{5}$.
Проекция этого вектора на горизонтальную ось $\frac{g_{0} }{5} \frac{2}{ \sqrt{5} }$ совпадает с полной проекцией на эту ось.
Проекция этого вектора на вертикальную ось $\frac{g_{0} }{5} \frac{1}{ \sqrt{5} }$.
Полная проекция на вертикальную ось $\frac{g_{0} }{5} \frac{1}{ \sqrt{5} } + g_{0} = \left ( 1 + \frac{1}{ 5 \sqrt{5} } \right ) g_{0}$.
Ускорение свободного падения в т. В определяется по теореме Пифагора:
$g_{B} = g_{0} \sqrt{1 + \frac{1}{125} + 2 \frac{1}{ \sqrt{5} } \frac{1}{5} + \frac{4}{125} } \approx 1,104 g_{0}$. Следовательно, $g_{A} = \frac{10}{9} g_{0} \approx 1,01g_{B}$.