2018-11-04
В вертикально закрепленной открытой сверху и снизу трубе расположены 4 одинаковых металлических шарика. Верхний находится на высоте 10 м над нижним краем трубы, второй на 80 см ниже, третий на 2.4 м ниже второго, четвертый на 4 м ниже третьего. Шарики удерживаются тонкими спичками, вставленными в стенки трубы. Спичку под верхним шариком убирают, он падает и ударяется о второй, при этом ломается вторая спичка. Далее при ударах следующие спички также ломаются и перестают удерживать шарики. Какие скорости будут иметь первый и второй шарики к моменту, когда нижний шарик достигнет нижнего края трубы? Ускорение силы тяжести принять равным $10 м/с^{2}$. Соударения шариков упругие. Размерами шариков, потерями энергии при разрушении спичек, сопротивлением воздуха, трением между шариками и стенками пренебречь.
Решение:
Из законов сохранения следует, что одинаковые шарики при упругом ударе обмениваются скоростями. При первом ударе скорость первого шарика передается второму, и т.д. Поэтому самый нижний из двигающихся шариков всегда имеет такую же скорость, как если бы он свободно падал с самого верха. Время падения с высоты $H = 10 м$ равно $\sqrt{2H / g} = \sqrt{2} \approx 1,414 c$.
Расстояния от верха до второго и последующих шариков равны 0,8; 3,2; 7,2 м, или $0, 8 \times (1, 4, 9) м$, то есть относятся как квадраты целых чисел. Поэтому каждый следующий шарик начинает движение через одинаковое время, согласно формуле $h = gt^{2} /2$. Первый удар происходит через $\sqrt{ 2 \cdot 0,8/10} = 0,4 c$, третий шарик начнет падать через 0,8 с, четвертый -через 1,2 с. Зависимости скоростей шариков от времени показаны на рисунке. Площади под графиками обозначают пройденные расстояния. Видно, что шарики 1 и 2 первый раз встречаются в момент 0,4 с, а в момент 1,2 с произойдет их вторая встреча, после которой скорость первого шарика будет 4 м/с, а второго 8 м/с. За оставшееся время 0,214 с шарики наберут по 2,14 м/с. Скорость первого шарика в момент падения четвертого будет 6,14 м/с, а второго 10,14 м/с.