2018-10-12
Вагонетка должна перевезти груз в кратчайший срок с одного места на другое, находящееся на расстоянии $l$. Она может разгоняться или замедлять свое движение с постоянным ускорением $a$, переходя затем в равномерное движение или останавливаясь. Какой наибольшей скорости должна достигать вагонетка, чтобы было выполнено указанное выше требование?
Решение:
Начертим графики скорости движения вагонетки, соответствующего условию задачи (рис.). Как видно из чертежа, график скорости любого движения (OABCDEFN) будет лежать внутри графика скорости движения (OAMFN), при котором половину пути вагонетка двигалась равноускоренно с ускорением $a$, а половину пути - равнозамедленно с тем же ускорением. Так как путь численно равен площади фигуры, ограниченной графиком скорости и осью времени, то за одно и то же время вагонетка во втором случае пройдет больший путь, чем в первом. Следовательно, вагонетка пройдет путь $l$ за наименьшее время и достигнет максимальной скорости, если будет двигаться половину пути равноускоренно, а вторую —равнозамедленно. Исходя из этого, определим наибольшую скорость движения вагонетки.
$l = \frac{v}{2} t; \frac{l}{2} = \frac{at^{2} }{8}$
(так как ускоренно вагонетка двигалась $\frac{t}{2}$ сек). Решая эту систему уравнений, найдем $v = \sqrt{al}$.