2018-10-07
Круглое отверстие в дне сосуда закрыто конической пробкой с сечением основания $S$ (рис.). При какой наибольшей плотности материала пробки $\rho$ можно, доливая воду, добиться всплытия пробки? Площадь отверстия равна $S_{0}$, плотность воды равна $\rho_{0}$. Поверхностным натяжением пренебречь. Объем конуса, имеющего площадь основания $S$ и высоту $h$, равен $hS/3$.
Решение:
Введем $l$ - расстояние, на которое выступает пробка над плоскостью дна. Из подобия геометрических тел $l^{2}/h^{2} = S_{0}/S$. Максимальная выталкивающая сила возникает, если вода лишь доходит, до верха пробки. Тогда
$( \rho_{0} - \rho) g \frac{hS}{3} - \rho_{0}g \frac{lS_{0} }{3} - \rho_{0}g (h - l)S_{0} = 0$.
Исключая $h$, получаем
$\rho = \rho_{0}[1 + 2(S_{0}/S)^{3/2} - 3S_{0}/S]$.