2018-10-07
Жесткий стержень длины $l$ может свободно поворачиваться вокруг оси О, закрепленной на расстоянии $l$ от гладкой вертикальной стенки (рис.). Между стержнем и стенкой зажат брусок толщины $h$. При какой толщине бруска его невозможно протянуть вниз, если коэффициент трения между стержнем и бруском равен $k$.
Решение:
Условие равенства моментов дает
$f(l - h) = N \sqrt{ l^{2} - (l - h)^{2} } = N \sqrt{h(2l - h) }$,
где $N$ - сила нормального давления, а $f$ - сила трения. Брусок не может двигаться при
$f \leq kN = k \frac{f(l - h)}{ \sqrt{h(2l - h)} }$;
отсюда
$h^{2} - 2lh + \frac{l^{2}k^{2} }{(1 + k^{2} ) } \geq 0, h = l \left ( 1 - \frac{1}{ \sqrt{1 + k^{2} } } \right )$.
Знак « + » не годится, так как $h < l$.
$0 < h \leq l \left ( 1 - \frac{1}{ \sqrt{1 + k^{2} } } \right )$.